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飧鲋亓俊Ｔ�1处（它离开0点的距离等于一个最小可觉的感觉差异），根据感觉对刺激的依赖关系，代表刺激的垂直线将延长1／3。也就是说，该刺激的起始量值是1／50或者3／150，在这儿等于4／150。简而言之，我们在前面坐标的基础上获得了感觉随着刺激增加而增加的相互关系（见图3），所不同的是，现在位于0处的新垂直线代表的是1／50克，而不是1克。
为了回答来自感觉方面的所有这些问题，这样两种测量方法一般来说已经足够了：首先，是对感觉强度随着刺激强度的变化而变化的恒常关系的测量；其次，是对这个最小可觉的感觉的测量。第一种测量能使我们划分感觉坐标，凭借刺激的帮助，我们可以将它按相等的部分划线。第二种测量为我们提供了零点，因此使得该坐标便于实际应用。如果我们在压力领域已经发现常数比率（constant ratio）为1／3，而且这个最小可觉的感觉由1／50克所产生，我们就可以免除所有进一步的测量，并且解决出现在我们面前的任何一个问题。假设我们想知道由1克的压力所产生的一个感觉强度，我们便以零点为起点，使用这个坐标。零点的压力是1／50克，位于1处的压力要比它大1／3；位于2处的压力又要比1处的压力大1／3，等等。我们将这个过程继续进行下去，直至我们达到1克所产生的压力，然后根据我们的感觉坐标把达到这个点所需的所有单位加起来。我们会发现我们几乎已经运用了14个单位，所以，如果我们开始用1／50克的重量压在皮肤上，然后用1克的重量压在皮肤上，那么我们已经越过14个最小可觉差。我们越是接近1克，与最小可觉差相对应的压力差异也就越大。第一个单位与起始刺激的1／3相对应，或者说与1／150克相对应。如果感觉直接随着刺激而增加，则我们的14个单位将与14／50克的增加而非1／3克相对应；而且，事实上，它们需要49／50克的压力增加，差不多相当于1克。
二
这种决定感觉强度的方法（通过逐渐把刺激从弱提高到强以产生一个最小可觉差），在实际应用方面会变得十分繁琐。直接的观察将具有更为简洁这一好处。因此，我们对于这个问题本身，提出是否可以发现某个更为简洁的方法，以便让我们只需通过一步就可以从1／50克达到1克，而毋须像我们上面所做的那样，运用不少于14个中间步骤。这个问题也许可用肯定来回答，因为对存在于感觉和刺激之间的依赖关系的考虑会使我们信服。
感觉和刺激在量值上是相互独立的，两者都能用数字来表示。代表感觉的数值随着刺激数值的增加而增加。在这一情形中，最简单的关系将是很明了的：与刺激相对应的是数字1、2、3等等，也存在用那些数字来表示的感觉。于是，我们可以说，感觉强度是与刺激强度直接成正比的。然而，这种简单的关系难以把握，刺激增加要比感觉增加更为迅速。当然，在一个数字系列比另一个数字系列增长得更快方面，现在有无数种形式可以用来表示这些数值之间的依存关系，例如，如果我们将每一个数自身相乘，这样我们便从数字系列l、2、3、4……获得另一个数列为1、4、9、16……。众所周知，第一个数列是第二个数列的平方根；后者为前者的平方，或者为第一个数列的二次幂。所以，如果用这两列数字来表示刺激和感觉之间关系，我们应该说，感觉相等于刺激的平方根。一个相似的数列（它与这个数列的差别仅仅是以更快的速度增加）可以通过把每个数字乘以本身两倍或者三倍来获得，于是达到了它本身的三次幂或者四次幂。如果这些数列中的任何一个数列表示刺激增加的速率，我们就可以说，感觉等于刺激的三次方根或者四次方根。但是，感觉强度的增加既非平方根，也非立方根，或者是刺激强度的其他任何方根。从这一事实中可以很清楚地看到，刺激增加与其引起的确定的感觉强度的增加是整个刺激量值的一个常数比。因此，既然有关的刺激增加总是保持相等，那么代表刺激的有关数字的增加也必须是一个常数。这在所引证的数列中并不存在这样的事实。例如，在数列l、4、9、16中，数字的增加应依次为3、5、7，而这些增加是与l、4、9有关的；但是，由此得到的比例为3／1。5／4、7／9，它们并不相等。如果这个例子事实上遵循着感觉的定律，我们必须获得3／1、6／2、12／4等这样的分数，或者是其他一些特定的常数结果。但是，既不是二次幂也不是三次幂或者其他任何幂次方给出了这样的数列。
另一方面，存在着另一种应用非常普遍的数字关系，它精确地对应于感觉和刺激之间的关系。
如果我们稍稍注意一下一个普通的对数表，我们就可以发现表中的数字是以两个纵列排列的；其中一列包含普通数字，另一列为其相应的对数值。我们立即可以看到，后者的增加比普通数字的增加要缓慢得多，如同感觉增加的量值比刺激增加的量值缓慢得多一样。对于数字1，它排列在一边，我们发现作为它的对数的0是排列在另一边的。10的对数为1，100的对数为2，等等。这里，对于数字和它们的对数来说，我们看到这两个系列以十分相异的方式增加。如果我们观察得更仔细些，我们就会发现比外在的相似性更大的相似性。l、10、100、1000的对数为0、l、2、3，这些数字的增加与它们的量值之间存在怎样的关系呢？当1增加到10时，增加了9；当10增加到100时，增加了90；当100增加到1000时，增加了900。因此，它们的增加比率为9／1、90／10、900％。这些比率是相等的，例如，都等于9。现在，这个式子可以表示感觉增加的规律。感觉是以相同的量值增加的，而刺激的增加是这样的：它的每一次增加都与这一特定的整个刺激量值之间存在一个常数关系；对数以相等的量值增加，而此时它们数值的增加是这样的：它的每一次增加与相对应的量值之间总是存在相同的比率关系。所以，我们可以说，当刺激以其数字关系增加时，感觉是以对数关系增加的；或者，更为简洁地说（我们可以用某种确定的数字来表示任何一种刺激量值），感觉作为刺激的对数而增加。
对数表在心理学认识到它们的必要性前很久就已被人们自然地使用了。事实上，感觉对刺激的依存关系的表达仅仅是一种十分简单的关系的表达，它频繁地出现在量值依存性的表达上。例如，对数0，l，2，3以相同量1每一个区别于相邻值，而对应的数1，10，100，1000以同样的倍数（即每一例值的10倍）彼此不同。但是这样我们具有的求对数的唯一法则，那么这一过程也十分繁杂。幸好，事情是十分简单的。如果我们把一个数自乘到其全部可能次幂，我们也就能从这个数得到另一组数值。于是10的1次方＝10，10的2次方＝100，10的3次方＝1000。很清楚，通过这种将一个数自乘的方法，我们可以获得任何一组数值。如果我们把1又1/4。1又1/3、1又1/2作为10的指数，我们会得到一组落在10和100之间的数值。如果我们把2又1/4、2又1/3、2又1/2作为10的指数，所得到的数据在100和1000之间。而且，如果我们把所有可能的分数作为指数，那么我们将会获得10和100，100和1000等等之间所有可能的数字。为了获得小于10的数字，我们不能乘以数字10，而是把它自除若干次。正如数学家所说，我们必须计算它的负数次幂。这样10的…1次方＝1／10，10的…2次方＝1％等等。而在10和10的…1次方之间存在10的0次方，也就是1。如果我们用这些负幂次方中的分数作指数，那就可以得到这些分数所能得到的一切结果；从指数0到1之间得到的所有数值，都落入1和10之间。因此，只要计算10这个数的所有次幂，我们就可获得每一个可能的数值。现在，如果我们把这些指数0、1、2、3与相应的数字1、10、100、1000相比较，我们可以看到后者以相同的比率彼此依存，就像对数依存于它们的真数一样。当以乘方产生这些数以相等的倍数增加时，前者就以相同的增量增加。因此，这些幂并不指代其他任何东西，而是指代我们通过乘方所得数值的对数。现在，我们可以把感觉定律的公式表述如下：感觉依存于其刺激就像指数依存于乘方产生的这些数一样。
三
但是，把指数和对数与感觉相比较会产生一个疑问。正如我们已经看到的那样，存在着负指数；与此相应，也应该存在着负对数。如果我们把数字10自除1次、2次、3次和4次，我们就会获得指数0、－l、－2、－3或者对数0、－1、－2、－3。这些负对数数字如同正数一样是无限的。当我们想起这些负对数和幂表示分数时，这一点将很容易被理解。如果我们继续延伸10的…1次、10的…2次、10－3次或者1／10、1％、1‰。这个数列，我们会依次得到越来越小的分数。正如整个数列是无穷的那样，分数数列也是如此。然而，如果我们通过业已描述过的方法达到0，那就需要把10自除无限次数。因此，与0相对应的对数是无穷大的负数。但是，所有这些都适用于感觉吗？感觉会是负的吗？会存在既是负的又是无穷的感觉吗？
当我们讨论负感觉时，我们通常利用以下感觉术语来理解，认为它是与我们所说的正感觉呈相反方向的感觉。例如，寒冷是炎热的负感觉。但是，称寒冷为正感觉也是一样正确的，而此时炎热的感觉就是负感觉。这里的〃正〃与〃负〃，和它们在其他地方一样，其表达是相对的。负数并不意味着无：它和正数一样是一个真实存在的量值；我们可以任意地运用它们。一个店主把他估算的财产，把他账上统计的所有东西，或者把属于他的其他东西作为正数；他把所欠的债看作是负的。另一方面，如果他在估算他所欠的债时把它当作是正的，那么账上的项目和贷款便被看作是负的。在这两种情形里，结果是一样的。或者，如果一名地理学家希冀在区分空间方向时把某个方向命名为负而不是命名为正；这些都不是主要的问题。同样，我们把分数规定为负，是因为我们已经把正的命名给了整数的对数。我们必须谨慎从事，不能认为我们在这里所做的一切超越了常规，即使这个常规是最自然和最明显的。
然而，出现了一个问题，即我们是否可以不说负感觉，而用与上述意义简单相对的词语。所有人都会用肯定来回答这个问题，如果曾经表明在感觉中这种对立是存在的话。诸如寒冷和炎热的对立在目前的例子中与我们无关，那当然是不言自明的。寒冷和炎热是两种不同的感觉属性，关于它们的性质，我们这儿几乎没有必要怀疑，正如舒服和不舒服、愉快和不愉快之间的差异一样。但是，这些属性确实预示了感觉的相反特性。如果我们对此予以一个特别的考察，我们也许不仅会公正地而且会十分自然地用正和负的量值来表达炎热和寒冷、愉快和痛苦的对立。但是，我们的任务首先是考察感觉的强度。因此，所有其他的感受特性被排除在我们的考虑之外。
我们发现我们的坐标的自然零点是指感觉开始的那一点，在那一点上我们开始有了感觉。然而，是否存在着未被察觉到的感觉？或者说，那个问题的提出是否会引起术语的矛盾？
这当然是矛盾的。但它仅仅是一个表面上的矛盾，因为〃感觉〃这个词本身就是一个歧义的表达。我们已经看到，确实存在未被察觉的感觉差别。显然，这一现象就〃感觉〃一词给出了两种不同的含义。第一个含义是，感觉仅仅是一个依赖于刺激变化的某种东西，而不论我们是否会检测到这种变化。第二个含义是指我们的发现，即由感觉来表示的变化。从绝对的意义上说，这两种关于感觉的说法都是对的。当感觉如此微弱，以至于不能被察觉时，我们认为它们是独立于我们的体验而存在的某种东西，我们仅仅从外部刺激对它们的影响进行考察。我们可以用此方式提出这样一个问题：一个感觉差别（sensation difference）是与感觉到的差别（Sensed difference）根本不一样的，后者隐含着前者具有一个确定的强度。一个感觉也许在它能被觉察到以前早就存在了。我们只有当它达到一个确定的强度时，才能感觉到它的存在。尽管在这一阐释中我们承认存在着模糊性，但是我们仍无法去排除它。这种模糊可用下述的事实来解释：当感觉这个词首次出现在语言中时，产生它的意识仅仅是它自身被认识的感觉和感觉差别。除非出现科学的反应，否则人们无法得出如此的结论：感觉和感觉差别肯定存在，但它不足以被认识，因为感觉既不会突然地产生，也不会突然地改变，而是具有连续的阶段性。
所以，对于我们来说，这里所用的〃感觉〃一词，在后面将用来表示所有那些我们无法觉察的感觉和感觉差别，除此之外，别无其他选择。对于它们的存在，我们必须提出这样的假设，即我们是可以感觉到它们的存在的，正如我们可以清楚地体验到狭义上的感觉一样。这使得我们有必要去区分我们所说的可以觉察到的感觉和感觉差别与不能觉察到的感觉和感觉差别。现在，由于我们发现，一个感觉若要能被觉察，它必须达到某一量值，而且，我们发现其他东西也一样，当其强度变大时，它的量值也变大，因此我们当然可以由此判断，把感觉变到恰好可以被分辨的地方，那个地方就成为我们感觉坐标的零点。这个问题解决后，我们就可以很自然地把该点的右边称为正，也即可以觉察的感觉；把该点的左边称为负，也即不能被觉察的感觉。因为可以觉察和不能觉察意味着一个直接的对立，这和寒冷与炎热一样．或者和相反的空间方向一样。
因此，我们可以得出结论：在这种更进一步的正与负的反向点上也能将感觉依存于刺激的关系与对数依存于其数值的关系作比较。而且，我们现在可以越过零点，在负方向上建立我们的坐标，直至刺激消失，正如图4所表示的那样。现在，在某一长度范围内，我们根据感觉的最普通形式获得了感觉规律。在我们达到刺激的零点之前，我们必须朝负方向将0向左移动多少个单位呢？刺激的零点当然不是指影响我们感觉器官的外部运动过程，而是指由外部运动过程引起的大脑的内部刺激，这和感觉的生理过程与感觉的心理过程相平行是一样的。它可以被假设为：外部的刺激如此微弱，以至于无法达到大脑，也许是因为它们难以影响感觉器官，也许是因为它们无法被传递到大脑。这个假设可以用来表达随着感觉的增加，刺激增强的线应落在感觉坐标的什么地方。很清楚，我们可以把我们的负感觉单位延伸至无限，而达不到那一点；如果我们假定刺激的量值在坐标的每一区域以1／3的幅度减弱，那么这一减弱的趋势将是越来越缓慢的；尽管它会变得非常非常小，但是，只要我们所规定的这个负感觉单位可以用数字来表达，它就不会消失。当这些数值变得无限小时，我们才会假定相应的刺激量值也变得无限小，小到我们可以毫不犹豫地认为它等于0。从而，我们再一次具有如同对数与真数的关系一样的关系。如果我们不断把分数数列1／10、1％、1‰。扩展下去，我们便无法产生任何一个分数，因为它非常非常小，不可能大于0。我们只有在无限时才能达到0。因此，与此相对应的这个负对数为无限大。同样，我们可以相信，一个刺激能够按照我们的意愿被一分再分，而其结果再小仍为一个刺激。刺激只有在无限时才能变得相等于0，而与一个相等于0的刺激相对应的负感觉必须是无穷大；因为一个负感觉意味着一个不能被分辨的感觉，一个无限大的负感觉仅仅表明这个感觉比其他任何感觉更加难以分辨，正如它等于0和ac时一样，前者比任何其他数值都小，而后者比任何其他数值都大。
我们将对数规则与感觉规律进行类比只有在一点上是不完善的。我们看到，所有可能的数值可以通过将某一数值乘以其所有可能的幂次而获得。这些正的幂次给了我们整数；负的幂次给了我们分数；0的幂次为我们提供了单位。在感觉的例子中，我们发现的所有这些事实都有一个确定的意义。但是，我们已经忘记了还有一点尚未确定，那就是这个数值的参与使我们得到了其他一切可能的数字。在这个例子中，我们把数字10乘以0、l、2、3次幂，因而获得了数列1、10、100、1000。如果我们采用其他数字而不是10，将其乘以那些幂次，那么我们获得的将是一个不同的数列。因此，知道选择什么样的数字来作为乘方的基数是很重要的。
很明显，这对于感觉法则来讲也是一个重要的问题，因为感觉与刺激的关系如同它们的指数与数值的关系，也是通过乘方才获得的；而且，很清楚，我们只能说，哪些刺激量值对应于感觉l、2、3，如果我们知道这个确定的数字是作为该乘方例子中的基数的话。我们对那个数字的选择是完全任意的。对于我们的感觉坐标来说，它并不重要，它仅仅影响到坐标区域的划分。我们已经有了最方便的划分，感觉的量值可以根据对应关系直接由刺激的量值来计算得到。但是，只有当感觉是刺激的一个简单对数，而不能是这个对数的某个倍数或分数时，这才有可能，它完全依赖于我们的刺激单位和感觉单位的绝对量值。这两个量值可以被任意选定，只要我们清楚地确定它所代表的意思。我们已经看到，当刺激被选定为等于1时，感觉便等于零——即是最小可觉的1的0次、10的0次、100的0次，都等于1；换言之，1的对数总是等于零。这对所有刺激单位的量值都成立。现在，如果感觉1也符合这一点（在这一点上，它的刺激是与对数1相对应的数值），那么我们必须把10作为基数，因为在这一点上，刺激力量值10。如果100被选作基数，我们必须在感觉1处得到刺激量值为100，等等。因为10的1次＝10，100的1次＝100，每个数字的1次方等于它本身。如果我们标出更大的感觉单位，即坐标�