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用，伽利略发现它的速度并不是一个恒定值，而是随时间增加。伽
利略的测量表明，速度和经过的时间
t成正比。
换句话说，当一个物体在一恒定外力的作用之下，从静止开始
时，它的速度可以表示为：
v＝kt 。
那么
k的值是多少呢？
从实验中很容易发现，这个值和斜面的坡度有关。斜面愈近
于垂直，球滚动的速度就愈快，
k值也就愈大；在斜面完全垂直时，
也就是在没有减弱的引力作用的情况下，球自由落下时，速度增加
得最快。在引力没有减弱的情况下，常用
g来表示
k，所以一个从
静止开始的自由落体，它的速度是：
v＝gt 。
让我们来考虑一下斜面。在这个图
中：
斜面的长度是
AB，高度是
AC。AC
对
AB的比值是角度
x的正弦，通常写
为
sinx。
我们可以依照特定的角度绘出三角形，然后量出它的高及斜
面长度，求得
sinx的近似值。或者是用数学的技巧，求出任一精
确角度的值。把这些值可以列成一个表，通过查阅表，我们就可得
到任一角度的值，比方说
sin10°大约是
0。17365，Sin45°差不多是
0。70711等等。
有两个重要的特殊情况：假设“倾斜的”平面呈完全水平，那么
角度是零，这倾斜面的高度也是零，则高度对斜面长度的比值当然
也是零。换句话说，
Sin0°=0。当倾斜面完全垂直时，它与底面构
成直角，或
90°角。它的高正好等于它的长，因此两者的比率是
1。
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因此，sin90°＝1。
现在，让我们回到由斜面滑下的球的速度与时间成正比的方
面来：
v＝kt
实验可以证明，k值随角度的正弦而变化，因此：
k＝k'sinx
k'用来表示一个和
k不等的常数。
其实，三角函数和斜面的关系，早在伽利略时代之前，就已经
由史蒂文发现，他也做了著名实验，就是把不同质量的物体从一个
高度掉下；已往大家都误认为这个实验是伽利略做的。不过，即使
伽利略不是第一位做实验和做测量的人，他也是第一位让科学界
深深了解到实验及测量之必要性的人。就这一点而言，成就已是
相当辉煌了。
在斜面完全垂直的情况下，
sinx成了
sin90°，其值是
1，所以在
自由落体中：
k＝k'
也就是说，k'是在自由落体中承受未被减弱的引力作用时的
k
值，这个值我们已经说过用
g来表示，我们可以用
g来代替
k'，因
此对于任何坡度的斜面来说：
k＝gsinx
所以，一个由斜面上滑下的物体，其速度方程是：
v＝（gsinx）t
在水平平面上，因为
sinx＝sin0°=0，所以速度方程为：
v＝0
也可以这样说，一个在水平面上一开始就静止的球，无论经过多少
时间，都会保持不动。一个静止的物体有保持静止的倾向等等，这
是牛顿第一运动定律的一部分，是由斜面的速度方程推导出来的。
附录：科学中的数学
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假设一个球并不是从静止开始，而在开始下落之前就有一初
始运动。换句话说，假设你有一球沿水平平面以每秒
5米的速度
滚动着，突然滚到一个斜面的上端点而开始往下滚。实验表明，在
下滚的任何时刻，球的速度要比从静止开始下滚的速度大每秒
5
米。换句话说，一个从斜面下滚的球，它的运动方程可以更完整地
写为：
v＝（gsinx）t ＋V
V是起始速度。如果一个物体从静止开始，那么
V等于零，这时
运动方程就成了我们以前写过的：
v＝（gsinx）t
如果我们再考虑一个具有某个起始速度，而在水平平面上运
动的物体，因为角度
x是
0°，所以方程成为：
v＝（gsin0°）＋V
因为
sin0°是零，所以也可以写成：
v＝V
因此，像这样的物体，不管时间经过多久，它的速度会始终保持起
始的速度。这是牛顿第一运动定律的另一部分，也是从观察斜面
运动推导出来的。
速度改变的快慢程度叫做加速度。比方说，一个从面上滚
下来的球，在相继的每一秒钟结束的时候，它的速度是每秒
2、4、
6、8……米，那么它的加速度便是
2米每秒平方，通常写为
2米/秒2）。
在自由落体中，如果我们用这个方程：
v＝gt
则在每秒的下落中，速度会每秒增加
g米。因此，g便表示由引
力造成的加速度。
g的值可以由斜面实验来决定。我们将斜面方程改写为：
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g＝v/（tsinx）。
由于
v、t和
x都可以测量，由此
g便可算出。结果在地球表面
上，它的值是
9。8米每秒平方。在地球表面正常引力下的自由落
体，下落速度和时间的关系便可写为：
v＝9。8t
这就是对伽利略当初所提问题的解答，也就是决定落体的速率，以
及该速率变化的方式。
下一个问题是：在一定的时间之内，球降落了多少呢？从速度
与时间的关系方程，可以用微积分中积分的方法，导出距离及时间
的关系。然而这样做并无必要，因为这一方程可以由实验做出，而
且实际上伽利略已经做出了。
他发现，从斜面上滚下来的球所走的距离和时间的平方成正
比。换句话说，时间加倍距离会增为
4倍；时间
3倍则距离会增为
9倍，依此类推。
对一个自由落体而言，距离
d和时间的方程是：
d＝1/2gt2
因
g等于
9。8，也可以写为：
d＝4。9t2
接下去，假设物体不是由静止开始下落，而是从高空中水平地
抛出，它的运动将会由两种运动合成，一种是水平的，另一种则是
垂直的。
在水平方向上，如果我们不考虑风力、空气阻力等等，则由于
除了开始的冲力外，并没有其他任何作用力，所以根据第一定律，
是一种匀速运动，因而物体所走的水平距离跟经过的时间成正比。
然而在垂直方向上所走的距离，如同我们刚才解释过的，和时间的
平方成正比。在伽利略之前，人们含糊地相信，一个类似炮弹的抛
射体会依直线运动，直到推动它的推力用完，再垂直地落下。但伽
附录：科学中的数学
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利略却有了巨大的进展，他把这两种运动结合起来了。
这两种运动的结合（与时间成正比的水平方向运动和与时间
的平方成正比的垂直方向的运动），形成了一条叫做抛物线的曲
线。即使一个物体不是水平地被抛出，而是向上或向下抛出，其运
动的曲线仍是一条抛物线。
这样的运动曲线当然适用于像炮弹一类的抛射体，所以也有
人称之为弹道。从伽利略对弹道所做的数学分析，使我们能计算
出当一枚炮弹以一定的爆炸力量和一定的仰角发射时，它将落于
何处。虽然几千年来人们曾经为了好玩、为了觅食、为了攻击或防
御而扔东西，但是由于伽利略的实验和测量，才产生了一门叫弹道
学的科学。说来也巧，这也是现代实验科学直接用于军事的第一
项成果。
在理论上这项成果也有相当重要的应用。把一种以上的运动
加以结合的数学分析，解决了哥白尼学说的一些异议。它说明了
向上抛出的物体不会被运动着的地球甩掉，因为这个物体有两种
运动：一种是由上抛时的推力所造成，另一种则由运动的地球所造
成。这个分析立刻使我们很合理地期望地球也有两种运动：绕轴
自转和绕太阳公转；这是不相信哥白尼学说的人所无法想象的。
牛顿第二和第三定律
牛顿把伽利略的运动概念扩展到天体，证明这些运动定律在
天体中也像在地球上一样适用。
他开始考虑月球由于受到地球引力的缘故，可能朝地球降落，
但是由于运动的水平部分使它不致于撞击到地球表面。如同前面
所说的，一个水平发射的抛射体，会沿着抛物线路径向下而和地球
表面相交；但是由于地球是球体，它的表面也向下弯曲，当以足够
快的水平运动速率发射的抛射体，可能向下弯曲的速率不如地球
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表面下弯得快，因此抛射体会永远围绕着地球旋转。
现在，月球绕地球的椭圆运动可以分成水平和垂直运动两种
成分，垂直运动使月球每秒朝地球落下大约
0。13厘米；在这段时
间里，它在水平方向移动了大约
1 006米，足以补偿它的下落，使
它继续绕地球曲率运转。
问题是：导致月球下落
0。13厘米和从树上掉下来的苹果在第
一秒内降落
4。9米是否是同一引力所造成的呢？
牛顿设想，地球表面的引力，像是一个正在膨胀的大球，向各
个方向上扩展。球的表面积
A则和半径的平方成正比：
A＝4πr2
他因此推断：分布于球面的引力，必然随半径的平方而减弱。光和
声音的强度是随距离的平方而减弱的，引力又何以不会这样呢？
地球中心到它表面上一个苹果的距离差不多是
6 400公里，而
从地球中心到月球则大约是
386 000公里。由于到月球的距离比到
苹果的距离大
602倍，所以地球对月球的引力比对苹果的引力弱
602倍，或者说弱
3 600倍。将
4。9米除以
3 600，得数约为
0。13厘
米。因此牛顿认为，月球的确受到地球引力吸引的支配而运动。
牛顿继续考虑质量和引力的关系。一般来说，我们把质量和
重量混为一谈，但重量只是受到地球引力吸引的结果，如果没有引
力，一个物体会变得没有重量；然而，它还是保持着一定的质量。
因此，质量与重量无关，应该能够用一种不涉及重量的方法来计
量。
假设你在一个完全没有摩擦的平面上，与地球表面成水平地
拉动一个物体。虽然已经没有任何来自引力的阻力，由于物体惯
性的缘故，你仍需用力才能使这个物体移动，并加速它的运动。
如果你精确地测量所施的力，比方说，通过拉动附在物体上的
弹簧秤，你会发现使物体产生一定加速度
a所需的力
f和物体的
附录：科学中的数学
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质量
m成正比。如果你把质量加倍，你便需要花两倍的力。对一
个一定质量的物体，所需施的力和想要的加速度成正比。以数学
的方式来讲，可以用这个方程来表示：
f＝ma
这就是牛顿第二运动定律。
正如伽利略所发现的，地球的引力使所有的物体，不管轻的或
重的，都以完全相同的速率加速。空气阻力可能使非常轻的物体
的降落速度减慢，但是在真空中，一根羽毛和一铅块会降落得一样
快，这很容易证明。如果牛顿第二运动定律成立，那我们可以推出
这样的结论：地球的引力作用，对重的物体要比对轻的物体来得
大，才能产生相同的加速度。比方说，要加速一个质量是另一个物
体
8倍的东西，则需要
8倍的力。因此，作用于任何物体上的地球
的引力都必然和它的质量正好成正比。事实上，这便是在地球表
面上质量可以计量得和重量一样的原因。
牛顿还推导出第三运动定律：对于每一作用，都有一大小相
等、方向相反的反作用。这个定律适用于力的观念。换句话说，如
果地球以一定的力吸引月球，那么月球也以相等的力吸引地球。
按照第二定律，如果月球的质量突然加倍，地球作用在它上面的力
也会随之加倍。当然，按照第三定律，月球对地球的引力也会加
倍。
同样，如果不是月球，而是地球的质量加倍，按照第二定律，月
球作用在地球上的引力会加倍，同时按照第三定律，地球作用于月
球的引力也会加倍。
如果地球和月球的质量都加倍，则会有两个加倍，每一个物体
的引力都会加倍两次，总共增加为
4倍。
在这种推理之下，牛顿只能做出这样的结论，就是宇宙中任何
两个物体之间的引力和它们质量的乘积成正比。同时，当然也和
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两者中心的距离之平方成反比。这就是牛顿的万有引力定律。
如果我们用 f 表示引力，m1和 m2表示两物体的质量，d表
示两者之间的距离，那么这个定律可以写成：
Gm m
f =
12
2
d
G是万有引力常数，它的值可以用来测量地球的重量（详见第四
章）。牛顿推测在宇宙各处 G都是一个恒定值。随着时间的推
移，人们发现在牛顿时期未能看见的行星，以牛顿定律的要求在运
动，甚至遥远的双星也按照牛顿关于宇宙的分析在运行。
这一切都是由伽利略对宇宙的新的定量观点得来的。你可以
看得出，牵涉到的数学大都十分简单，所提到的都是高中代数而
已。
事实上，我们上面所介绍的最重要的一项智慧革命是：
1。 简单的一组观察，任何学过高中物理的学生稍微接受一点
指导就有可能做出来。
2。 简单的一组只有高中程度的数学概念。
3。 两位杰出的天才，伽利略与牛顿。他们有特殊的洞察力和
创造力，因而首先完成了这些观察和推论。
相 对 论
由伽利略和牛顿所推衍出的运动定律必须依靠一项假设，就
是绝对运动的存在。所谓绝对运动，也就是相对于静止物体的运
动。我们知道宇宙中的每一个物体，如地球、太阳以及所有的银河
系都在运动，那么在宇宙中，我们怎样才能找到绝对的静止，来测
附录：科学中的数学
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量绝对的运动呢？
迈克耳孙…莫雷实验
由于这条思路，引出了迈克耳孙 …莫雷实验，而这个实验又导
致如同当年伽利略那样伟大的科学革命。在这里，基本的数学也
是相当地简单。
这个实验是尝试测定地球相对于以太的绝对运动。以太被认
为充满了整个宇宙，而且是静止的。实验的推理如下：
假设有一束光，沿地球运行的方向通过以太；在这个方向的某
处，固定一面镜子把这束光反射回光源。让我们以 c来表示光的
速度，以 v来表示地球通过的以太的速度，光源离镜子的距离是
d。光束以它自己的速度加上地球的速度开始，也就是一般所说
的顺风。它到达镜子需要的时间是 d除以（ c ＋ v）。
然而在回程中，情况正好相反。反射的光束正好逆着地球的
速度方向射过来，因此它的净速度是 c …v，它返回光源所需的时
间是 d除以（ c …v）。
往返一次所需的总时间是：
dd
＋
cv c 。
＋
v
把这两项做代数的相加，我们得到：
（ 。
v） ＋
dc ＋
v） dc 。
dv ＋
dc ＋
dv
dc （2dc
22 22
（c ＋
v）（ c 。
v） c 。
vc 。v
现在假设光束进行的方向和地球通过以太的方向垂直，那么
这束光从 S射向距离 d处的镜子 M时，在光束到达镜子的这段
时间里，地球的运动已把镜子从 M带到 M'处，所以光束真正走的
路径是从 S到 M'。这个距离我们叫它 x，而从 M到 M'的距离叫
做 y（见下页图）。
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当光束以速度
c在距离
x中
运动时，镜子也以地球速度
v在
距离
y中运动。由于光束和镜子
同时到达
M'，因此所走的距离必
然和各自的速度成正比。所以，
yv
=
x c
或者：
y =vx
c
现在，我们可以用毕达哥拉斯定
理（勾股定理）求出
x的值。毕
氏定理告诉我们，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平
方。因此，以
vx/c代表
y，在直角三角形
SMM'里：
22 。
vx 。2
x =
d ＋。
。
。
c 。
2 。
vx 。22
x 。=
d
。。
。
c 。
22
vx x2。
2 =
d 2
c
22 22
cx 。
vx 2
2 =
d
c
2 22 22
（c 。
v ）x =
dc
22
2 dc x =
c2。
v2
dc
x =
c2。v2
光束在
M'被镜子反射回到光源，在这段时间内光走到
S″。
由于
S'S″和
SS'距离相等，所以
M'S″的距离也就等于
x。所以光
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束走的总距离是
2x，或者是
c
22
dc
。v2
。
光束走这段距离所需的时间是：
2dc 2d
c
÷=
22 22
c 。vc 。v
这和光束沿地球运动的方向往返一次所需的时间比起来是怎
样呢？让我们把平行情况下所需的时间
。。。
c22。
dcv2
。
。。
除以垂直情况下
。。
所需的时间
。。
c
22
d
。v2 。。
：
22 22
2dc 2d 2dc c 。v cc 。v
÷
=×
=
22 22
c2 。v2 c2 。v2 c 。v 2dc 。v
因为每一个数被自己的平方根来除，得到的商是自己的平方
根，也就是说
x / x =x ，因此，
x / x =1/ x 。所以最后的式
子简化为：
c
c2 。v2
如果我们把分子和分母同时乘上
1/c2 （等于
1/c）的话，上
面的式子可以进一步简化为：
c 1/c2 c /c 1
222 2222 22
c 。v 1/cc /c 。v /c 1。v /c
这就好了。这就是平行于地球运动方向和垂直于地球运动方
向光束所需的时间比。对于任何比零大的
v值，1/ 。2/2
1 vc 都
大于
1。因此，如果地球正在穿越静止的以太，那么光束在地球运
动方向上所走的时间，要比在垂直方向上所走的时间长。事实上，
平行的运动需要时间最多，而垂直的运动需要时间最少。
迈克耳孙和莫雷准备以实验来测量光束在传播期间的方向差
异。他们使光束在各方向上被反射回来，同时以相当精确的干涉
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计测量返