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数形式的数是很少的。对像
111这样的数又该怎么办呢？对这个
问题的回答引出了对数表。
第一个研究这个问题的是
17世纪的苏格兰数学家纳皮尔。
显然，想把
111这样一个数字表示成
10的幂的形式，则
10的指数
不会是整数（这个指数是
2和
3之间的一个小数）。总的来说，如
果所考虑的数本身不是底数的整数倍，那么指数就会是小数。纳
皮尔找到了一种计算数字所对应的小数形式的指数的方法，并将
这种指数命名为对数。不久以后，英国数学家
H。 布里格斯简化了
这种方法并算出了以
10为底的对数。布里格斯对数（即常用对
数）在微积分中不大好使，但在普通计算中则用得较多。
所有非整数的指数都是无理数，也就是说，它们不能表示成普
通分数的形式。它们只能用无限不循环小数来表示。然而，这样
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一个小数可以按照需要计算到任意多的位数。
例如，让我们假定我们想要计算
111和
254两数的乘积。111
的常用对数，精确到小数点后五位，是
2。04532，而
254的常用对
数则为
2。40483。把这两个对数加起来，我们得到
102。04532 ×
102。40483＝104。45015。这个数大约等于
28 194，也就是
111×254的
积。如果我们想达到更高的精确度，我们可以使用精确到小数点
后六位或更多位的对数。
对数表大大简化了计算工作。在
1622年英国数学家奥特雷
德设计了一种计算尺，使计算变得更加容易。他在两把尺上都标
上了对数刻度。在这种刻度中，数字越大，数字间的距离就越短。
例如，第一段包含
1到
10的数字，长度与第一段相同的第二段包
含
10到
100间的数字，而同样长度的第三段则包含
100到
1 000
间的数字，等等。通过将一把尺沿着另一把尺滑到适当的位置，就
能读出乘除计算的答案。使用计算尺进行运算就像用算盘做加减
法一样容易，当然，这要使用者能熟练运用这种工具才谈得上。
计算机
向真正自动的计算机迈出的第一步，是由法国数学家帕斯卡
在
1642年完成的，他发明了一种加法机，使用时不用像使用算盘
那样在每一行上分别移动筹码。它由一套联在一起的齿轮组成。
如果把第一个轮子——个位轮——转动
10个格到它的
0刻度，则
第二个轮子就会向上转
1个格到它的
1刻度，这样两个轮子在一
起就会显示
10这个数字。如果十位轮转到了它的
0刻度，则第三
个轮子会向上转
1个格，显示
100，等等。（这种加法机的原理和
汽车里程表的原理是一样的。）据说帕斯卡制作了
50多部这种加
法机，其中至少有
5部存留至今。
帕斯卡的装置只能做加法和减法。在
1674年，德国数学家莱
第十七章 头 脑
第十七章 头 脑
布尼兹再进一步，他改进了轮子和齿轮，使得乘法和除法也变得像
加减法一样自动和容易。1850年，美国发明家帕马利取得专利的
一项重大进展使计算机使用起来更加便利。以前的计算机是用手
直接拨动轮子，而他则引入了一套按键；按下标有某个数字的键，
轮子就会转到相应的数字。我们所熟悉的老式现金收入记录机
中，所采用的就是这样的机械装置。
但是，莱布尼兹并未就此罢手。可能是由于他在计算机械化
方面的努力，他发明了二进制系统，目的是想最大限度地简化计算
的机械化。
人类通常使用的是一种以
10为底的记数系统（十进制），这种
系统中共用到十个不同的数字（
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9），并以这些
数字的不同数量与组合来表示所有的数。某些文化中用到了以别
的数为底的记数制（有以
5为底的系统、以
20为底的系统、以
12
为底的系统、以
60为底的系统等等），但是以
10为底的记数制使
用得最为广泛。毫无疑问，这一点是由于我们的双手刚好有
10个
手指的缘故。
莱布尼兹认识到，任何数字都可以用做底数，而对于机械运算
来说，最简单的应该是以
2为底的系统（二进制）。
二进制记数法中只用到两个数字：
0和
1。它把所有数字都表
示成
2的幂。这样，
1这个数就是
20，2这个数是
21，3是
21＋20，4
是
22，等等。就像在十进制系统中一样，幂是由符号所处的位置
表示的。例如，
4这个数表示为
100，即：（1 × 22）＋（0 × 21）＋
（0×20），用十进制数表示，就是
4＋0＋0=4。
让我们以
6413这个数字为例来说明一下。在十进制系统中，
可以把它写成（
6×103）＋（4×102）＋（1×101）＋（3×100），别忘了
任何数的
0次方都等于
1。而在二进制系统中，是通过把
2的幂
加在一起（而不是把
10的幂加在一起）来组成数字的。比
6413小
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的最高次幂是
12次幂；
212是
4096。再加上
211，即
2048，我们得到
6114，这个数比
6413小
269。下一个要加上
28即
256，这样还剩
下
13；再加上
23即
8，剩下
5；然后是
22即
4，剩下
1；最后
20就是
1。这样我们就可以将
6413写成（
1 × 212）＋（1 × 211）＋（1 × 28）＋
（1×23）＋（1×22）＋（1×20）。但是，像在十进制系统中一样，一个
数当中的每一位数，从左到右，必须表示比上一位数低一次方的方
次。在十进制系统中写出
6413这个数时，我们表达了
10的三次、
二次、一次和零次幂项的和，同样，在二进制系统中我们也必须表
达出
2的
12到
0各次幂项的和。以列表的形式表示为：
1 × 212＝4096
1 × 211＝2048
0 × 210＝ 0
0 × 29＝ 0
1 × 28＝
256
0 × 27＝ 0
0 × 26＝ 0
0 × 25＝ 0
0 × 24＝ 0
1 × 23＝ 8
1 × 22＝ 4
0 × 21＝ 0
1 × 20＝ 1
6413
一个个地将左边一列中的乘子取出（就像我们在十进制中相
继取出
6、4、1和
3这些乘子一样），我们在二进制中把这个数写成
1100100001101。
这看起来好像很麻烦。6413这个数要写成
13位长，而在十
第十七章 头 脑
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进制中则仅需
4位数。但是对于计算机来说，这种记数系统是最
简单的了。由于只有两个不同的数字，一切运算都能以简单的“是
或非”的方法来完成。
推测起来，像在提花织机上有针或无针这样一种简单的事情
应该可以以某种方式模仿“是”和“非”，或
0和
1。通过恰当而巧
妙的组合，人们可以调整出如下的结果：
0 ＋ 0=0，0 ＋ 1=1，
0 × 0=0，0 × 1=0和
1 × 1=1。如果以上组合都能做到，我们就可
以想象在提花织机之类的设备上应该能进行一切算术运算。
可以以这种方式完成的不仅仅是普通的计算。这个系统还以
扩展到包含一些逻辑语句，而人们在一般情况下并不认为这些逻
辑语句属于算术。
在
1936年，英国数学家图灵证明，不论什么问题，只要能分解
成有限个操作步骤，而且其中每个步骤又都能用某种机器来完成，
那么这个问题整体上也能通过机械方式加以解决。
1938年，美国数学家兼工程师香农在他的硕士论文中指出，
一种叫做布尔代数形式的推理逻辑可以用二进制的方法来处理。
布尔代数是指一种符号逻辑系统，这种系统是英国数学家布尔于
1854年在《关于思维规律的研究》一书中提出的。他注意到，推理
逻辑中用到的各种命题都能用数学符号来表示。接着他又展示了
如何根据一些固定的规则处理这些符号以得到恰当的结论。
举一个非常简单的例子，让我们考虑下面的命题：
“A和
B二
者均为真。
”假设我们知道
A与
B分别是真或是假，现在的任务是
通过某种严格的逻辑推理来断定上述命题的真假。让我们按照香
农提出的想法，以二进制的思想方法来解决这个问题，并用
0代表
“假”、用
1代表“真”。如果
A与
B二者均为假，则“A与
B二者均
为真”这一命题为假。换一种说法，
0乘
0得
0。如果
A与
B二者
中一为真而另一为假，则上述命题依然为假，也就是说，
1乘
0（或
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0乘
1）得
0。如果
A为真且
B也为真，则“A与
B二者均为真”这
一命题为真。用符号表示，这种情况即为
1乘
1得
1。
这三种情况刚好同二进制系统中的三种可能的乘积相吻合，
即
0 × 0=0，1 × 0=0，以及
1 × 1=1。这样，由“A与
B二者均为
真”这一命题表示的逻辑可以用乘法来处理。因此，一个经过适当
编程的装置，能采用处理普通运算时采用的同样方法，同样方便地
处理这个逻辑问题。
在处理“A或
B有一个为真”这个命题时，我们用加法而不是
乘法来解决这个问题。如果
A和
B二者均不为真，则这个语句为
假。换句话说，0＋0=0。如果
A与
B二者一为真而另一为假，则
这一命题为真；在这两种情况下
1 ＋ 0=1或
0 ＋ 1=1。如果
A与
B二者均为真，则这语句肯定为真，即
1＋1=10。［10中重要的一
个数字是
1；它向左移动了一位，这一点并不重要。在二进制中，
10表示（1×21）＋（0×20），它和十进制中的
2是一样的。］
布尔代数在通信工程中已变得很重要，并且构成了现在人们
所说的信息论的一个组成部分。
人工智能
第一个真正看到提花织机穿孔卡片的潜力的人是英国数学家
巴贝奇。在
1823年，他开始着手设计并建造一个他称之为差分机
的装置，并在
1836年试图建造一部更为复杂的分析机，但两者均
未能完成。
理论上，他的想法是完全正确的。他设想通过使用穿孔卡片
自动地完成算术运算，然后再将运算结果打印出来或采用在空白
第十七章 头 脑
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卡片上穿孔的方式输出。他还计划使机器能够存贮卡片（这些卡
片是经过适当穿孔的），并能在将来需要的时候取用这些卡片，这
样机器就具有记忆功能了。
这部机器的机械运动是通过连杆、汽缸、齿条，以及按十进制
系统制造的齿轮完成的。机器用铃声通知操作人员送入一些卡
片，如果送错了卡片，就会有更加响亮的铃声告诉他们。
不幸的是，巴贝奇脾气暴躁，性情古怪。随着不断有新的灵
感，他每过一段时间就将他的机器拆了，重新建造更加复杂的机
器，结果不可避免地耗尽了资金。
更重要的是，他所依靠的机械的轮子、杠杆和齿轮根本就不能
完成他所要求完成的任务。巴贝奇的机器比起帕斯卡的机器来，
需要更加精巧、更加灵敏的技术，这样的技术当时还不存在。
由于这些原因，巴贝奇的工作逐渐失败了，并被遗忘了一个世
纪。当人们最终成功地建造出巴贝奇式的计算机时，是由于有人
又独立地重新发现了他提出的原理。
电子计算机
穿孔卡片在计算工作中的一项更为成功的应用，发源于美国
人口普查的需求。美国宪法规定，每十年要进行一次人口普查。
而且实践证明，对于全国的人口和经济进行的普查效益极大。事
实上，每过十年，不但国家的人口和财富有所增加，而且所需的统
计细节也有所增加。其结果是，完成全部统计所需的时间也越来
越长。到了
19世纪
80年代，人们开始发现也许到
1890年的普查
快要到来时，1880年的普查结果还不能完全出来。
就是在这个时候，美国联邦统计局的统计员霍勒里思发明了
一种记录统计资料的方法。这种方法是在卡片的适当位置上用机
械方法做出一些孔。卡片本身是非导体，但是电流能流过位于孔
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处的接触点。通过这种方式，计数和其他的运算就能由电流来自
动完成，这一点相对于巴贝奇的纯机械的装置来说是一项重要的
甚至是决定性的进步，因为电是可以担当这一任务的。
霍勒里思的机电制表机在
1890年和
1900年的美国人口普查
中获得了成功的应用。即使用上了霍勒里思的装置，1890年
6500万人的人口普查也花了两年半时间才列表完毕。但是，到了
1900年，他已经改进了自己的机器，使卡片能自动进给，并由电
刷读出。于是
1900年的新的更大的人口普查仅用了一年半多一
点的时间就完成了全部统计工作。
霍勒里思创办了一家公司，它就是国际商业机器公司（
IBM）
的前身。这家公司以及由霍勒里思的助手鲍尔斯领导的雷明顿·
兰德公司，在其后的
30年中对机电计算系统进行了不断的改进。
这两家公司不得不这样做。
随着工业化的进展，世界经济越来越复杂化。而且，想成功地
管理世界事物，必须要越来越多地知道有关的数字、信息和统计资
料的细节。世界正在变成一个信息社会，而人类如果不能足够快
地学会收集、理解这些信息并做出相应的反应，则这样一种信息社
会会因负荷太重而崩溃。
正是由于这种无情的压力，这种必须处理不断增加的大量信
息的压力，推动社会向着发明更加精巧、更加多样化和更大容量的
计算装置的方向前进。这种前进趋势自
20世纪开始以来一直势
头未减。
机电计算机的速度越来越高，而且在整个第二次世界大战期
间得到了广泛地应用。但是，只要这些机器离不开像开关继电器
和控制计数轮的电磁铁之类的运动部件，它们的速度和可靠性就
不会超过某种限度。
1925年，美国的电气工程师布什和他的同事们建造了一部能
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解微分方程的机器。这部机器能够做巴贝奇想让他的机器做的事
情。它是第一部成功的我们今天称之为计算机的仪器。这是部机
电计算机。
1937年，哈佛大学的艾肯在
IBM公司工作期间，设计了一台
更为惊人的机电计算机。这部机器名叫
IBM自动顺序控制计算
器，在哈佛叫做马克Ⅰ型。它在
1944年建造完毕，是为科学应用
而设计的。它能够完成包含
23位二进制数的数学运算。换句话
说，它能在
3秒钟内正确完成两个
11位数的乘法运算。这是一部
机电装置，由于它主要是用于处理数字，所以它是现代第一部数字
计算机。（布什的装置，像计算尺一样，是通过把数字转变成长度
的方法来求解。由于它使用的是模拟量，而不是数字本身，所以它
是一部模拟计算机。）
但是，要取得完全的成功，这些计算机里的开关必须是电子的
才行。对电流进行机械的中断和重新导通确实比轮子和齿轮要强
得多，但还是既笨又慢，更不用说不可靠了。在电子器件如电子管
中，可以对电子流进行精巧、准确和迅速得多地操作，而这就是下
一个发展步骤。
第一部大型电子计算机共包含了
19 000个真空管，它是由埃
克特和莫奇利于第二次世界大战期间在宾夕法尼亚大学建造的，
被称为电子数值积分器和计算器，简称
ENIAC。ENIAC在
1955
年停止了工作并在
1957年被拆除。当时这部机器才
12岁，却已
是一个毫无希望大大过时的老糊涂了，但是它却留下了很多非常
尖端的后裔。ENIAC重达
30吨，占地
140平方米，而
30年后具
有同等功能的计算机可以做得像一台电冰箱一样大小，这都是由
于使用了比老式的真空管小得多、快得多而又可靠得多的开关元
件的缘故。
这方面的进展非常快，到了
1948年，已经开始了小型电子计
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算机的批量生产。5年之内，已有
2 000台电子计算机投入使用。
到了
1961年，这个数字增至
10 000台。而到了
1970年，使用中的
计算机已突破
100 000台的大关。然而这只不过是刚刚开始而已。
进展之所以如此迅速，是因为虽然电子技术能满足计算机械
化的需要，电子真空管却不是这个问题的答案。真空管尺寸大、脆
弱并需要消耗很多能量。
1948年，有人发明了晶体管（见第九
章），由于有了这一类的固态器件，使得电子控制部件变得结实、小
巧而且能耗极低。
在计算机尺寸变小、价格下降的同时，它们的容量和应用范围
却在大大增加。在晶体管出现后的几十年间，人们很快一个接一
个地发现了许多新的方法，将越来越多的信息容量和存贮量塞进
一个比一个小的固态器件里去。到了
20世纪
70年代，微晶片盛
行了起来；这是一种细小的硅片，上面在显微镜下蚀刻上了密集的
电路。
结果不算太富有的人也买得起计算机了。很可能
20世纪
80
年代会成为家用计算机盛行的年代，就像
20世纪
50年代是家用
电视盛行的年代一样。
第二次世界大战以后投入使用的计算机，对当时的普通民众
来说，已经像是“思维机器”了。于是，科学家和普通外行人士都开
始思考人工智能的可能性和它可能带来的后果。人工智能这个术
语是由麻省理工学院的计算机工程师麦卡锡首先使用的。
这方面的思考在今天比当时要广泛得多，出现仅仅
40年的计
算机已成为人们生活中必不可少的、有巨大能力的工具。没有计
算机就不可能有空间探险。没有它们航天飞机就不能上天。没有
它们，我们的战争机器也会崩溃，倒退到第二次�