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这种分析的习惯启发了人类脑筋的每一种功能。它首先
通过分离的方法，强调从审美观点出发直接体察经验的内容。
这种直接体察是理解经验本身就其固有的特质（包括它的直
接实际价值在内）说来，究竟是什么。这是属于直接经验方
面的问题，必须依靠精微的感觉。然后便是把有关的特殊实
有抽象化的问题，也就是把这些实有和它被了解时所处的特
殊经验状况分离开来，从而理解它的本身。最后还要进一步
理解这些经验中的实有之间的特殊关系所能满足的绝对普遍
条件。这些条件之所以具有普遍性，是因为它们可以不涉及
某种特殊经验中所发生的某些特殊关系或特殊状态，单靠本
身就能表示出来。这些条件可以适用于牵涉其他实有和其他
相互关系的无数事态。因此，这些条件是完全普遍的，因为
它们不涉及任何特殊事态或在不同事态下存在的任何特殊实
有（如绿、红、树等），也不牵涉这些实有之间的关系。
然而数学的普遍性却可以划出一个极限，这一限制对所
有的普遍叙述都能适用。任何疏远的事态如果和直接的事态
没有关系，因而不能形成该直接事态的要素中一个组成部分
的话，那么对这种事态除开一种叙述以外就无法提出任何其
他叙述了。我们说的直接事态就是把该问题中的个人判断活
动当成一个组成部分的事态，而唯一能作出的叙述则是：“如
果任何东西处于关系之外，则对它将无所知”。这儿所说的
“无所知”是指“·完·全·不·知·道”。因之，不论是在实践中或任
何情况下，关于如何看待它或处理它的问题都无法提出意见。
我们要知道疏远事态中的一些东西，就必须通过一种认识，这
种认识本身就是直接事态的组成部分，否则我们就一无所知。
因此，在各种经验下显示出来的全部宇宙，其中的全部细节
都和直接事态具有一定的关系。数学的普遍性是最完整的普
遍性，它和构成我们的形而上学世界的各种事态都能符合。
还有一点应当注意的是，特殊的实有在进入任何事态时
都必须具有这种一般条件。但许多不同类型的实有也许会要
求同一种的一般条件。一般条件超越于任何一套特殊实有之
上——这就是“变数”这个概念进入数学和数理逻辑的理由。
正是由于运用了“变数”的概念，考察一般条件时才可以不
要任何特殊实有来说明。特殊实有的这种不相关性并没有为
一般人所理解。例如实际经验中的“圆性”、“球形性”、“立
体性”等等形态的性质在几何推理中并没有地位。
运用逻辑推理时所涉及的完全是这种绝对普遍的条件从
最广泛的意义上来说，发现数学就是发现这些抽象条件的全
部情况。它们都可以同样运用于一切实有在任何实际状况下
所发生的关系，而且彼此之间用一定的模式互相联系起来，其
中还具有一种启开全局的锁钥。普遍抽象条件之间所存在的
这种关系模式无分轩轾地存在于所有的外界实有之上。同时
也普遍存在于我们对外界实有所作的抽象表达之上。这一情
形是通过下一普遍的必然性形成的；即每一事物都必然不多
不少正好形成它的自身，并且以它自身特有的方式区别于其
他任何事物。这就是抽象逻辑的必然性，而这种必然性就是
每一种直接经验事态所显示的关联存在这一事实必然假定的
前提。
打开关系模式的锁钥所指的情况是这样：普遍条件中被
选定的某一套条件在某一事态下体现后，如果想要求得体现
在同一事态下然而又涉及该条件的无限变种的模式，就可以
纯粹运用抽象逻辑来推演。任何这类被选定的条件就叫一套
假设或前提，推理就是从这种假设或前提下开始的。如果把
这一套选定的假设推演出它的模式来，然后再把这一模式中
所包括的普遍条件的全部模式表达出来，便是所说的推理过
程了。（。电子书。整*理*提*供）
推演出假设中所包含的完整模式来的逻辑推理的谐和是
一种最普遍的审美性质。这种性质仅是从一个事态的统一体
中所包含的协同存在这一事实上产生出来的。只要有事态的
统一体存在的地方，该事态所牵涉的普遍条件之间便存在着
审美学的关系。这种审美学的关系是在运用理性的时候发现
的。所有属于这一关系之内的东西便都在该事态中体现出来，
所有不属于这一关系之内的东西便不可能在该事态中体现。
因此，象这样体现出来的普遍条件的完整模式便可以由任何
一套精选的条件来决定。这类锁钥性的各套假设是由相等的
假设组成的。“存在”的这种理性谐和是一个复杂事态的统一
体所必需的，这种谐和再加上该事态的逻辑谐和所牵涉的一
切完整体现就是形而上学理论的主题。这话的意思就是说：事
物在一起存在时都是有理性地在一起存在的。同时也就是说，
思想可以认识每一种事实的事态。因此，只要理解了锁钥性
的条件，条件模式的全部复杂情况便被打开了。总起来说：如
果我们知道了某一事态中各种要素的某些完全普遍的性质，
就能知道同一事态下必然会出现的无数其他同样普遍的概
念。一种事态的统一性所牵涉的逻辑谐和既是排他的，又是
无所不包的。该事态必须排斥一切非谐和的东西而包含一切
谐和的东西。
毕达哥拉斯第一个掌握了这一普遍原则的全部意义。他
是纪元前６世纪的人。我们对他的了解是很不完全的。但我
们欲知道某些使他成为思想史中的伟大人物的特点。他坚持
推理中极终普遍性的重要意义。他看出了数字在帮助人们叙
述出自然秩序中所涉及的条件时的重要意义。我们也知道他
研究过几何，发现了直角三角形著名定理的普遍证法。他建
立了毕达哥拉斯兄弟社，关于该社的仪式和影响还有许多神
秘的传说。这些都提供了证据，说明毕达哥拉斯的认识不论
怎样模糊，但总是看出了数学在科学构成中可能具有的意义。
在哲学方面他开创了一种讨论，这讨论往后一直在激动着思
想家的心弦。他问道：“数学中的实有象‘数’之类的东西在
事物领域中究竟应占什么地位呢？”例如“２”这一个数目便
是处在时间之流和空间的必然位置以外的东西。然而它却是
实际世界所涉及的东西。同样的理由也可以适用于圆形之类
的几何概念。据说毕达哥拉斯曾经认为数学的实有如数与形
状等是最后的材料，我们的感官经验中的实有都是由这种材
料组成的。这样概略说来，这种观念似乎非常粗糙，而且也
诚然很笨。但他却讲到了一个相当重要的哲学概念。这个概
念具有悠久的历史，曾经激动过人们的心弦，甚至还深入了
基督教的神学。阿德纳肖信条和毕达哥拉斯相距有１，０００
年之久，黑格尔和毕达哥拉斯则相差有２，４００年之久。不管
时间距离有多长，但有限数在神性构成中的意义，以及现实
世界是观念发展的体现等说法，都可以追溯到毕达哥拉斯所
创始的一系列思想上去。
个别思想家的地位有时是随机遇而转移的。也就是说，必
须看他的观念在继承人心中的命运如何而定。在这一方面毕
达哥拉斯是很幸运的。他的哲学思想通过柏拉图的头脑传授
给我们了。柏拉图的观念世界就是修正和提炼毕达哥拉斯的
学说而成的。这一学说认为现实世界的基础是数。希腊时代
表示数时用的是不同形式的点。因之，数的观念和几何形状
的观念便不象我们现在这样离得很远了。无疑，毕达哥拉斯
把形状的性质也包括到自己的学说里去了，这是不纯粹的数
学实有。现在爱因斯坦和他的继承人都主张重力这一类的物
理事实，可以说是时—空性质中局部特征的表现。他们这种
学说便是在追随着纯粹的毕达哥拉斯传统。从某种意义来说，
柏拉图和毕达哥拉斯比亚里士多德更接近于近代物理科学。
前二者都是数学家，而亚里士多德则是一个医生的儿子。当
然我不是因此就说他不懂数学了。从毕达哥拉斯那里所能得
到的实际见解就是事先度量，然后用数字决定的量来表示质。
但从那时起一直到我们这个时代以前这个时期，生物学一直
多半只是一种分类的科学。因此，亚里士多德便在他的“逻
辑学”中把重点放在分类上。他这部“逻辑学”很享盛名，因
而在整个的中古世纪一直阻碍着物理科学的进展。如果烦琐
学者实行度量而不专门搞分类的话，他们将要多知道多少东
西啊！
分类是可以直接观察的个别实际事物和完全抽象的数学
观念之间的中途站。生物分类中的种所注意的只是种的特性，
属所注意的是属的特性。但当我们通过数计、度量、几何关
系和秩序形态等把数学观念和自然界的事实连系起来，理性
的思维便离开了那种牵涉一定的种与属的不完整抽象境界，
而进入了完整的数学抽象境域了。分类是必须的，但除非你
能从分类走向数学，否则你的推理便不会有多大进展。
从毕达哥拉斯到柏拉图那一段时期和属于现代世界的
１７世纪这一段时期之间，相隔差不多有两千年之久。在这个
漫长的时期中，数学得到了长足的发展。几何在圆椎截面和
三角的研究方面获得了成功，穷究法也几乎先声夺人地达成
了微积分的研究。最重要的还是亚洲思想家供献了阿拉伯数
字和代数学。但这些进步都是技术方面的。在这些漫长的岁
月中，数学作为哲学发展的构成部分来说，从来没有从亚里
士多德的掌握中解脱出来。但从毕达哥拉斯与柏拉图那一时
代传来的一些老观念，在这两千年中仍然不绝如缕；这些观
念从柏拉图学说对基督教神学初期发展的影响中也可以看出
来。但哲学并没有从不断发展的数学科学中得到任何新的灵
感。到１７世纪亚里士多德的影响降到了最低潮，数学也就恢
复了往日的重要地位。这是一个伟大物理学家和伟大哲学家
的时代，而哲学家和物理学家又都是数学家。唯有约翰·洛
克不同，他虽然也曾受到皇家学会中牛顿这一派人物的深刻
影响，但却是一个例外。在伽利略、笛卡儿、斯宾诺莎、牛
顿和莱布尼兹的时代里，数学对哲学观念的形成发生了极大
的影响。但这时脱颖而出的数学是一门和早期的数学完全不
同的科学。它开始了几乎难以令人置信的现代事业，。电子书它
在普遍性上有了进展，推演出了一套又一套的奥妙的理论。而且
每增加一分复杂性时，就愈找到了应用于物理科学或哲学思
维的新途径。阿拉伯数字在处理数目方面几乎为科学提供了
完整的技术效能。象这样从琐屑的算术细节（如纪元前１，６００
年埃及的算术所表现的情形一样）中挣脱出来以后，便使希
腊晚期数学模糊地预见到的前途得到了发展。这时代数登上
了舞台，代数成了算术的普通理论。正如同数字超脱了任何
一套特殊实念的约束一样，代数也超脱了任何特殊数字的观
念。比如说，数字“５”可以无分轩轾地表示任何包含５个实
有的群。同样的道理，代数中的字母也可以无分轩轾地用来
表示任何数字。只是事先应当规定，在同一用法中每个字母
都始终代表同一数字。
这种用法首先是用在方程式中。方程式是用来问复杂的
算术问题的方式。在这种场合下，代表数字的字母称为“未
知数”。但不久方程式就提出一个新概念，即一个或多个普遍
符号的函数。这种符号就是代表任何数字的字母。在这种用
法中，代数字母称为函数的“自变数”，有时也称为变数。比
方说，在这种情形下，如果以某种单位来测量一个角，并将
所得的数字用一个代数字母来代表，于是三角便被吸收到这
种新的代数中去了。因此，代数就发展成为一门普遍的分析
科学，研究许多未定自变数的各种函数的性质。最后，各种
特殊的函数如“三角函数”、“对数函数”和“代数函数”等
都综合为一个概念——“任何函数”。太广泛的综合就会毫无
结果。唯有用一种巧妙的特殊性来限制广泛的综合，才能成
为有效果的概念。例如任何·连·续函数的概念都引入了连续性
有限制的概念，因而便是富于效果的概念，并且已经得到了
许多极重要的应用。当时兴起的代数分析正好和笛卡儿发现
解析几何以及牛顿与莱布尼兹发现微积分同时。诚然，毕达
哥拉斯如果预先看到了他所创始的思绪的结果，一定会认为
他的兄弟会和会里所热衷的神秘仪式是完全有理由的。
我现在要说明的一点是：函变数观念在数学的抽象领域
中这样流行，反映在自然秩序中便是用数学表达出来的自然
规律。要是没有这种数学的进步，１７世纪的科学发展便是不
可能的。数学为科学家对自然的观察提供了想象力的背景。伽
利略、笛卡儿、惠根斯和牛顿等人都创造了许多公式。
如果要举一个特殊的例子来说明数学的抽象发展对当时
科学的影响，那么不妨看看周期性这一概念吧。在我们的日
常经验中，事物的一般重复现象是很明显的。日子、月相、一
年的四季、心跳、呼吸等都重复出现，绕行的星球也重复回
到自己的老位置上去。我们在各方面都看到有重复现象发生。
没有重复现象就不可能有知识，因为在这种情形下就没有任
何东西能根据以往的经验推断出来。同时，没有某些规律性
的重复现象，也不可能有度量。当我们获得了这一“精确”观
念后，重复现象在我们的经验中便成了基本的东西。
在１６、１７世纪时，周期性的理论在科学中占了主要地位。
凯普勒发现了一条定律，可以把各种行星轨道的长轴和各行
星循着自己的轨道环行时的周期联系起来；伽利略观察了摆
的振动周期；牛顿认为声音是由稀密相间的周期性波动通过
空气时所发生的扰动而形成的；惠根斯认为光线是由精微的
以太的横振动波而形成的。麦西尼把提琴弦的振动周期和它
的密度、张力以及长度联系起来。现代物理的诞生必须依靠
周期性的抽象概念在许多实例上的应用。但假若不是数学首
先用抽象的方式把环绕着周期性这一概念的各种抽象观念全
推演出来了，这事是不可能办到的。三角学刚兴起时是研究
直角三角形两锐角跟勾股弦的比率之间的关系。接着，在数
学中新发现的函数分析的影响下，又扩大为体现这种比率的
纯粹抽象的周期函数的研究。因此三角便完全变成抽象的研
究了，而且正是由于变成了抽象的研究，所以就有用处了。它
说明了各种完全不同的物理学现象中所潜存着的相同关系。
同时也提供了一种武器，使任何一套物理学现象都可以把自
身的各种性状加以分析，然后连系起来①。
从以往的事实看来，数学往更极端的抽象思维的高超领
域上升得愈高，日后再回到下面来时对具体事物的分析就愈
加重要，这一点是再清楚不过了。１７世纪的科学史读来，仿
佛是柏拉图和毕达哥拉斯一些历历如目前的梦境。从这方面
说来，１７世纪仅仅是后继者的开路先锋而已。
最高的抽象思维是控制我们对具体事物的思想的真正武
器，这一个似非而是的说法现在已经完全肯定了。由于１７世
纪时数学家盛极一时，１８世纪的思想便也是数学性的，尤其
是法国的影响占优势的地方更是如此。但英国从洛克开始的
经验主义却是一个例外。在法国以外的国家里，牛顿对哲学
的直接影响表现在康德身上最为明显，在休谟身上倒并不如
此。
１９世纪时，数学的一般影响减弱了。文学上的浪漫主义
运动和哲学上的唯心主义运动都不是从数学家开始的。甚至
在科学领域里的地质学、动物学和一般生物科学的发展都完
全与数学无关。这一世纪科学上最惊人的成就便是达尔文的
进化论。因此，按照这个世纪一般的思想状况说来，数学远
远地退居到后面去了。这倒不是说数学被忽视了。甚至也不
是说数学没有发生影响。１９世纪纯数学的进步几乎等于从毕
达哥拉斯以来所有各世纪的总和。当然，由于技术日趋完善，
进步是比较快的。我们纵使是承认这一点，但数学从１８００到
１９００年这一段时期中的变化仍然是惊人的。如果我们把前一
百年也数上，看一看现代以前两百年的情形，我们也许会认
为数学是在１７世纪的最后２５年间奠定基础的。发现基本要
素的时期可以说是从毕达哥拉斯起一直到笛卡儿、牛顿和莱
布尼兹这个时期，但发展成熟的科学则是在最近２５０年才出
现的。这并不是在夸耀近代天才的高超，因为发现基本要素
本来比发展科学要困难得多。
在１９世纪的整个时期中，数学的影响在于它对动力学和
物理学的影响，然后又发展到工程和化学。数学通过这些科
学对人生的影响之大是难以估量的。但它对当时的一般思想
却没有直接的影响。
上面是数学在全部欧洲历史中的影响的简述，回想一下
这一简述就能看出数学曾在两个伟大时代对一般思想发生的
直接影响。这两个时代全部大约延续了２００年之久。第一个
时代是从毕达哥拉斯到柏拉图的时期，那时创立数学的可能
性和数学的一般性质破天荒第一次在希腊思想家心中萌芽
了。第二个