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〕、活力〔vis viva〕还是物体的某种固有的倾向，体现了作者对世界的不同看法，对物理世界的不同理解。牛顿在这里所谈论的究竟是推力、引力、拖曳力还是物体的某种固有的倾向或努力〔conatu〕，它们是同一种力还是几种不同的力，关于这些问题，在牛顿之前、同时、之后一直存在剧烈的争论。牛顿自己也一直在苦苦思索这些问题。他最后决定暂时不再纠缠于这些概念的异同，干脆把它们视作一种数学表述。它们也许是不同的物理力，但它们在数量上是恒等的，所以从数学上考虑，它们都是一回事。他说明，他使用“引力”这个词来讨论向心力，因为“这些命题只被看作是纯数学的，所以，我把物理考虑置于一旁，用所熟悉的表达方式，使我要说的更易于为数学读者理解。”
牛顿在这里专门谈到熟悉数学的读者。但我们大多数人不熟悉数学。自然语言在对我们说话的时候，我们实际上确实“望文生义”。很多科普书都会在“序言”里声明：本书中一个数学公式都没有，或者声明：我将尽量少用数学公式。这无非是表明，只有去掉数学公式普通人才能读懂。然而去掉数学公式之后，就产生了牛顿在这里所说的望文生义，很多科学概念就成了漫画。“求助于直觉或使用通常语言去解释新的以数学为基础的概念或预言……经常是十分有用的……但却不总是正确的，而且有时会严重地误导。物理学普及读物中充满了让读者以为他们已经理解了的伪解释。”我们有黑洞、空间弯曲、超弦这些概念，电视科普节目上说到超弦，还特别闪出一个大提琴手演奏的镜头。然而，只要稍稍读一点物理学，我们就会明白，这些概念都是数学概念，例如，超弦概念所依赖的超对称并不是直观的对称图形，超对称说的是“如果考虑到量子的自旋，诸自然定律就不多不少只还有一种对称在数学上是可能的”。数学不是达到这些概念或解释这些概念的辅助方法，而是这些概念的核心内容。除非你通过数学方程来掌握空间弯曲或超弦，否则你就不可能正当地用这些概念来进行思考，你就不可能通过这些概念进行正当的推理。
尽管关于牛顿的用词以及他的真实想法，在牛顿之后又有很长时间的讨论和争论，但渐渐的，这类讨论平息下来了。所争论的问题在数学上并无歧义，这就够了。但我们不能因此认为，牛顿、惠更斯、莱布尼茨这些人都热衷于字词之争。变化的是时代观念，在一个以数学解决为答案的物理学中，关于引力抑或是推力的争论变成了字词之争。
我们刚才说到，和自然语言中的概念相比，科学概念较少偶然性。但毕竟，科学概念是在这个时代或那个时代形成的，是这个科学家或那个科学家定义的，我们无法保证科学语言具有唯一性。然而，数学化消除了科学概念最后残余的偶然性。因为这些概念的最终有效性不在于它们具有何种理解的内容，而在于它们能够在数学上互相换算。
这种做法却留下了一个问题，那就是牛顿不得不放弃“真实的物理的意义”。尽管在用数学原理取代形而上学原理这个巨大转折中牛顿起到了关键作用，但他仍不得不承认“数学的”和“物理的”两者之间的区分。即使今天，人们普遍接受了数学物理，这一区分仍隐隐对物理学的实在性提出质问。
《哲学 科学 常识》 第二部分
数学化
章六
数学化
科学家和科学史家大都把数学化视作近代科学的主导因素。丹齐克一部名著的书名即谓“数――科学的语言”。一个世纪之前，迪昂在“物理学理论的结构”一篇，开篇即明称“理论物理学是数学物理学”。他接着说，到今天，健全心智几乎不可能再否认物理学理论应该用数学语言来表达。近代早期，尚有培根、波义耳等少数论者持不同看法，但不同看法逐渐消散。因为，如克莱因所称，到18世纪，“自然科学的分支整个地转变成基本上是数学性的学科了。科学也越来越多地使用数学术语、结论和程序，如抽象、推理等，这些被看作是科学的数学化。”同样的说法也是科学家挂在嘴边的。这里只引一句霍金：“一个物理理论即是一个数学模型。”我们还可以继续引用，以致无穷。实际上差不多没有哪位物理学家或科学史家不认为数学化是近代科学的主要特征。明末清初西方科学渐入东土之际，有识之士也慧眼明见数学的枢机作用，徐光启是中国人最早领悟并介绍西洋科学的前贤，大概也是他最早认识到西方科学的精髓或基础在于“度数之学”，四库全书总目也说：“西洋之学，以测量步算为第一”。
要了解科学的性质，我们就不能不对科学的数学本性做一番考察。
科学是在希腊…欧洲传统中发展起来的，应能设想，数学在源自希腊的西方思想…文化传统中具有特殊地位。克莱因在《西方文化中的数学》一书的前言里开篇即说：“在西方文明中，数学一直是一种主要的文化力量”。就古代数学的发展来说，我们不会否认巴比仑人、埃及人、印度人、阿拉伯人、中国人的贡献，不过，我们这里谈论的主要不是数学学科的发展，而是数学在观念整体中的位置。古希腊的智慧取了一种特殊的形态，我们称之为哲学。希腊人的哲学兴趣和古希腊人对数学的偏爱显然密切关联。众所周知，柏拉图把算术和几何视作培养哲学家的最初两门预备课程，照柏拉图的说法，“数的性质似乎能导向对真理的理解。……学习几何能把灵魂引向真理，能使哲学家的心灵转向上方”。据记载，柏拉图学院的入口处写着：不懂数学者不得入内。
到中世纪后期和近代早期，欧洲复兴了哲学…科学的热衷，这个时期对数学的重视越发显眼。中世纪晚期，柏拉图主义在一些智者那里获得重要影响。库萨的尼古拉宣称，数是事物在造物主心中的第一模型。不过，他仍然认为不可能用数学方式去把握自然。而罗吉尔·培根则相信大自然是用几何语言写成的。达·芬奇称说：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家。”哥白尼革命的一个主要动力是新柏拉图主义的信念：他的体系将揭示上帝创世的和谐对称的设计。罗吉尔·培根的话经伽利略重述而家喻户晓：“大自然这部书是用数学文字写成的”。在科学的数学化进程中，伽利略是转折点上的人物，因为他远不止于再次表达了新兴科学家的一个基本思想，而是开始实现这一思想。开普勒宣称世界的实在性是由其数学关系构成的。笛卡尔明言他最热爱数学，他记述了他1619年11月10日的那个著名的梦，在梦中他得到真理的启示，从此要把整个物理学还原为几何体系。“给我运动和广延，我将构造出宇宙。”笛卡儿把物质世界还原为由长宽高三维构成的广延，这是因为广延可以充分量化。物体的运动归根到底是力的机械作用，真实的世界是一个可以用数学表达出来的在时空中运动的整体。整个宇宙是一架庞大的、和谐的、用数学设计而成的机器。
近代科学首先在天文学和天体力学领域发展起来，这一事实与天文现象、天体运动适合数学处理关系极大。我们身边的事物极为繁杂，即使一片落叶，也受到无数因素的干扰，而相比之下天体的运动就“纯粹”多了，天体的实际轨道和理想的几何图形之间极少差异，因此最适合用数学来处理。正是数学在天文学中的成功运用鼓励牛顿把数学扩展到一切物体的运动上来。最后，达朗贝尔等人主张把力学视作数学的一个分支。
数与实在
数对我们来说是数字、用来进行数学推论的单位，但“数”另有一重含义，我们今天仍然能从命数、天数、气数、劫数这类词中体会得到。这里，数和命运、和某种超乎人们感知、掌控的客观者联系在一起：“天高地迥，觉宇宙之无穷，兴尽悲来，识盈虚之有数”。命运等意义不是附加到数这个概念上的，数的原始观念包含命运、神秘的规律之类。
在中国，数的观念是从筮占发展出来的。用龟甲牛骨之类占卜和筮占都是前理知时代的活动，两者是同时发展起来的抑或占卜在先筮法在后，学界尚有争论，但公认，到周朝以后，筮占越来越流行。从本书的论题看，龟卜和筮占最重要的区别在于前者是象征，后者是推衍。龟象自然成纹，个个有别，龟卜无须推衍，只凭直观，而卦象则是一些类别，分成八类或六十四类或某些类，筮占是通过推衍来进行的。此所谓“龟，象也，筮，数也”。李零解释说：“‘象’是形于外者，指表象或象征；‘数’是涵于内者，指数理关系或逻辑关系。”所谓“易”，就是筮数的体系，所以孔子说周易“达于数”。
数的观念体现了本体世界和现象世界的分离。数是涵于内者。在感应世界里，原无内外之别，现象/事物的交互作用，就发生在我们眼前。到理知时代，世界的规律作为数，隐藏到现象的背后去了。数不是我们为了方便从现象中归纳、概括出来的，数遵循着自己的规律循环替代。数这个观念和后世所说的自然规律十分接近。就数的运行决定现象世界而言，应当说，数世界才是实在，现象则是数运的展现，它既在空间中展现也在时间、历史中展现。数运不会因为现象而改变什么，尽管我们可以因为发现新的现象而修正从前我们对数运的断论，也就是说，从认识的角度看，现象是天数的消息；但从本体论上来说，现象只是副现象。本体世界是现象世界的原因。原因、原理，是更加真实的东西。在日常认识中，原因和结果是本体论上同一层次上的东西，或者都是现象，或者都是事物，在理论认识中，原因是本质，结果是现象。这是原因的理论意义：原理意义上的原因。
通过数的观念，世界不再被理解为现象/事物间的感应，而是被理解为实在世界的自行运转以及现象/事物随之运转。数标志着隐秘的、不可见的世界的结构和运行。互相发生感应的现象是在同一平面上的，与此不同，原理是隐藏在现象背后的，需要被揭示、被发现。隐藏在现象背后的才是世界的真相。由于现象和实在的分离，世界被给予一种深度。理论旨在发现潜藏在事物内部的原理或形式，从而具有“理论深度”。本体世界和现象世界的分离对理论建构具有最基本的意义，可说是理论的标识。例如，阴阳五行之成为一种理论，数〔命运与循环〕是其核心观念。
的确，感性的物质世界竟然体现着数字的抽象关系，这个发现令人惊异。毕达哥拉斯学派发现，发出和谐音的琴上，每根弦的长度必成整数比。这是一个著名的例子。乐音这样远离逻辑抽象而充满感性的现象竟然是由数决定的，这让远隔重洋的中国人同样感到惊异：“试调琴瑟而错之……五音比而自鸣，非有神，其数然也”。天文学是最早系统运用数学的领域，其实，就数之为数运而言，它一开始就和天空有格外紧密的联系。希帕恰斯通过他的均轮、本轮模型，对“七大行星”的运行做出了相当准确的描述，使得对月食的预测精确到了一两个小时之内。不难类推，在其他形形色色的现象背后也同样有数运。今天的科学家们仍然为同类的事情惊诧不已。不同植物的花朵数目有的是3，有的是5，或者是8、13、21、34……这不是一串杂乱无章的数字，其中每一个数字都是前面两个数字之和。大自然怎么会用这样意想不到的数学游戏来安排花朵呢？“数学模型或公式突然之间就把那些它们从未打算介入的领域……梳理得井井有条，这种经验是十分令人难忘的，而且极易使人相信数学的神奇能力……在科学的童年时代，对上述神奇的自然本性所作的草率结论，并不会使我们感到惊奇。”
本体世界是不可能被直接看到、直接经验到的，我们只能通过推论、论证通达它，通过理智的力量通达它。前面曾说到，理论工作和侦探工作颇为相似。不过，两者有一个根本的区别。侦探推论出来的物事，有可能后来被发现了，成了能够直接看到的东西。理论所对待的原理，却是原则上不可能被直接看到、被直接经验到的。阴阳之为事物背后的元素或动力，永远隐藏在事物背后，我们只能或通过神秘的直觉或通过理智的力量通达它。这一点前人曾从其他角度谈论过无数次了。并且，正是这一点让理论家们赋予理智以一种更高的地位，因为理智才能通达世界的实在。如果把肉眼所见称作具象，那么，理性所把握的就是抽象的东西。文德尔斑说，“自然研究的出发点尽管也是很富于直观性的，它的认识目的却是理论，归根到底是一些关于运动规律的数学公式；它以严格的柏拉图方式把有生有灭的个别事物当作空虚无实的假相抛开，力求认识合乎规律的、无始无终的、长住不变的、支配一切现象的必然性。它从有声有色的感性世界中布置出一个秩序井然的概念体系，要求在其中把握真正的、藏在各种现象背后的万物的本质，……这是思维对感觉的胜利。”
数运与数学
上引文德尔斑的这段话，评论的是近代科学。但“只要认识目的是理论”一语其实已经提示，凡是理论，都落到他的评论之中。无论是阴阳五行还是现代物理学，都是用数这类抽象元素之间的关系来统领各个不同领域中的事物与现象。不过，数运里的数观念不尽等同于数学里的数观念。数运观念中包含了大量的感应成分，数运理论中的数充满了象征，即数与现象的直接联系，现象与数的一一对应。这是原始的数观念的一个特点。由于数与其他现象之间的象征关系，数运看上去往往像是纷繁现象中的一组现象，数运之学看起来更像是逻辑和现象概括的混合。而数学中的数却洗净了象征意义，把数完全从现象世界中解放出来。
邹衍和董仲舒对数学并未做出任何贡献，毕达哥拉斯学派则不同，他们是一些真正的数学家，发现了包括勾股弦定理在内的很多几何、数学关系，不妨说数论研究就是毕达哥拉斯学派开始的。但即使在毕达哥拉斯那里，对数的兴趣也不是单纯的数学兴趣，在他们那里，对数字本质的理解是和对神、对世界上各种其他现象的理解交织在一起的，甚至有论者称他们的数学思辨“都是从宗教的灵感中引申出来的”。1代表理性，因为理性是一整体。四是正义，它是第一个偶数的自乘，而正义包含着互相酬报。七是智慧之神密纳发，因为在十个个位数中，只有七既不为它所包含的数所产生，也不产生其中任何一个数。十是一个完美的数，十包含了相同数目的质数和合数，是前四个正整数之和，因此可以图示为神圣三角。在这种种提法中，我们看到数学之数和现象的混杂，实际上，“数是万物的本源”这一毕达哥拉斯原则的主要论据就在于万物与数相似。
数运是事物的高度概括。数运之为概括，依赖于现象的相似或同构，五行概括了五官、五音、五色。这种对应的同构自有经验的基础。正义和自乘似乎有某种联系，乐音和弦长更是有明确的关系。所以古人说“同类相从，同声相应，固天之理也”。然而，真正的数学和科学所要求的却不是这种现象上的相似，也不是数的结构和现象的直接对应。花朵的数目是3、5、8、13、21、34……这个奇异的序列是需要解释的，后来也的确连同生物学中的另一些同类奇异现象得到了解释，那是研究生物系统的复杂性的成果，而不是我们找到了哪种基因结构和这个斐波那契级数直接对应。自然也许是简单的，但“自然的那些简单性并不直接呈现在我们面前，而是以其独特的、难以捉摸的方式表现出来”。对于我们的感性来说，看上去相同就是相同，看上去不同就是不同。鸽子、蝙蝠、蚊子的翅膀看上去是一类东西，我们就把它们归为一类东西。借助数学之类的推理，我们才穿透现象的拦截，达乎结构性的知识。
洗去了现象象征，数才变成纯粹的数，数学之数。数字不象征什么别的东西，无涉乎数以外的东西。数字本身没有内涵，每一个数的“意义”都由其他的数来界定，数字之间的关系是纯粹外部的关系。如此获得自主的数学是“科学的”数学。科学的数学不受现象的束缚，从而获得自治，可以安然地按照逻辑来发展。正多面体正好有五种，但这不是从五行推衍出来的，而是在数学内部加以证明的。
今天我们说到的数学，是洗去了象征的、纯粹的数之间的演算。从一个算式通往另一个算式是证明，或曰严格的演绎证明〔demonstration〕，而不可借助任何其他东西如象征、想象。证明方法在希腊最为发达，欧几里德几何学是最突出的成就，即使在今天，用《几何原本》来作初级教育的教科书也无大碍。像希腊思想的其他因素一样，数学对希腊人也是舶来品，来自巴比仑、埃及，但是，像其他舶来品一样，数学到了希腊，改变了自己的面貌。“从一开始，希腊数学同埃及、巴比仑的数学就有区别；……希腊几何学所追求的目标是抽象的几何知识、规范的推理和证明方法。”与之对照，如史蒂芬·巴克尔所言，“作为东方数学中的一种典型做法，巴比仑人、印度人和阿拉伯人并不怎么关心给出有关的证明来，更不必说把他们关于数的知识组织成公理化形式的系统了。”数学史家斯科特表达了相同的看法：“在整个东方数学中，任何地方都找不到丝毫的证据可以看出有我们所称之为证明的那种东西。”斯科特接着引用Sedgwick and Tylor说，印度数学家对我们所说的数学方法是没有什么兴趣的。他这里说东方主要是指印度，但也包括中国：在同一章的最后他也说到，“在中国人手里，也像在印度人手里一样，数学这门学科并不是那么抽象的。”研究中国古代史的许倬云也说：“中国的数学发展就好像是为了作实际的四则杂题一样发展来的，并不是为了抽象的思考而发展的。” 他还说到十部算经里大约有3000道题目，“没有所谓推演、定理或公理……当时训练数学家的方式不管抽象思考，只管计算，通过这些训练的学生就成为算学博士，但算学博士的地位在所有官吏里最低，待遇