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1585年以后，荷兰的数学家安托尼兹得到π= 或π≈3。1415929 。
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我国是世界文明发达最早的国家之一，对π的研究也有过重要的贡献。
《周髀算经》早有记载，圆径一而周三，也就是π=3，叫做古率。
公历纪元初年，汉朝的度量衡极不统一，给商业贸易带来不便。为了解
决这个矛盾，朝廷命令数学家刘歆用金属铜制造了一种圆柱形的标准量器，
名叫“律嘉量斛”。现在我国故宫博物院里还保存着一具这样的量斛。这种
量斛是怎么计算出来的，没有找到记载，但根据斛上刻的说明，不难知道当
时取π的近似值是π=3。1547。
后汉张衡用 10 = 3。1623表示π的值，这比印度数学家婆罗摩及多定
圆周率为 10早500多年。
三世纪的刘徽和五世纪的祖冲之的工作更为突出，使我国在这方面的工
作不仅赶上了欧洲人，而且还领先了1000年。可是我国古代数学家研究π的
成果，直至19世纪初还未获得世界的确认。
傅路德指出：“在康熙时代，中国人完全依赖传教士南杯仁、汤若望等
人的方法，直到这个所谓 ‘赤水遗珍’后
来重新被发现为止。在18世纪中期，王元启、钱塘等人依旧采用 10为圆周率。”
1833年，纳林说：“在这个古老的民族中纯粹科学一直处于低劣的状态。
传教士们发现，在 13世纪郭守敬称雄以前，他们认为圆周与直径之比正好是
3：1，……直到他们受到欧洲人的指导以前，没有前进一步。”纳林严重错
评了中国人在求圆周率π方面的工作。由于他们的影响，致使这个错误广为
流传。
中国古代数学家在圆周率π的研究上究竟有没有取得重大的成果；中国
人的成果是依赖于欧洲人的指导和传教士的方法还是依靠自己的聪明才智，
被历史掩盖了几百年的迷雾又是怎么产生和解脱的。这些都应作出正确的回
答。
被历史掩盖了几百年的迷雾应该解开，历史是最好的见证人。
三国时魏人刘徽在注释《九章算术》一书时，看到“古率”周三径一很
不满意。他证明了圆内接正六边形的周长是直径的三倍，说明周三径一实际
上是圆的内接正六边形的周率，而不是圆周率。他进而创立了求圆周率准确
值的方法——割圆术。为计算圆周率和圆面积建立了相当严密的理论和完善
的算法。割圆术有下面五个要点：
1。圆内接正六边形的一边的长度等于半径的长度。
2。设圆的半径是R，圆内接正n边形的边长是a，圆内接正2n边形的边
n
长是Z。利用勾股定理，从圆的内接正n边形的边长a求出2n边形的边长
n n
为
a 2 n n
上面的公式通常称为倍边公式。
3。设圆的半径是R，圆内接正n边形的边长是a，周长P，面积是SN，
2n N
圆内接正2N边形的面积是S2N，那么
S2N 4。设圆面积是WA，那么圆面积满足不等式
S＜A＜S＋（S…S）
2N 2N 2NN
这是一个重要的发现。利用它，在估计圆的面积时，就不要用圆外切正
多边形的面积，而只要计算出圆内接正多边形的面积就可以了。因为计算圆
外切正多边形的面积比计算内接正多边形要困难，所以用这种方法计算就简
便得多。
5。“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无
所失矣。”这就是说，圆内接正多边形的边数无限增加时，它的周长的极限
是圆周长，它的面积的极限是圆面积。这说明了当时刘徽已有了极限的思想。
刘徽设圆半径R为1，根据上述五个要点，从圆的内接正6边形入手，
逐步推出正12边形，正24边形，……直到96边形每边的长，从而求得圆内
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接正192边形的面积，得到一个粗糙的值 = （3。14 ）。不过他还算出
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两个值，一个较小的值3。141024和一个较大的值3。142704，正确的数字在
这两个值之间，即
3。141024＜π＜3。142704其中较大值3。142704比公元前250年前后阿
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基米德用正96 《 /PGN0056。 TXT/ PGN 》 边形求得的著名分数 （≈3。1428 ）
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稍好一点。
以后刘徽继续争取具有更高精密度的结果，他演算到圆内接正3072边
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形。验证了前面的结果，并且得到他的最佳值π= ≈3。14159 。这个数
1250
字比托勒玫在公元150年前后所采用的值好。刘徽还知道，如果有必要，他
还可以继续演算下去。
刘徽取3。14为圆周率（这在当时使用已经足够了），他还指出这个数还
较真值小些，为了表彰他的功绩，人称3。14这个值为“徽率”。
刘徽的割圆术，为圆周率的研究工作奠定了坚实可靠的理论基础。在世
界数学史上应当占有十分重要的地位。他所得到的结果当时在世界上也是十
分先进的。但是，常有人猜想这是从西方传到东方来的。这是没有充分根据
的。刘徽的方法和西方并不相像。这从以下两点可以看出：第一，希腊人用
的方法除去一个内接正多边形以外，还有一个外切正多边形；第二，希腊人
并不是通过计算圆面积来得到圆周率的。刘徽的计算方法具有中国人独特的
优点。
南北朝时，祖冲之发展了刘徽的方法，在对π的研究中又出现了新的跃
进。多数学者推测他从圆内接正6边形算起，一直算到圆内接正24576边形。
每求一值，要把同一运算程序反复进行，而每一次运算程序中，又包括对九
位数字的大数目进行12次加减乘除及开方等11个步骤，最后求出了
3。1415926＜π＜3。1415927，也就是 π=3。1415926……。
祖冲之是突破刘徽以后研究π值的杰出人物，是世界上第一个定圆周率
到第 7位小数的人。他的方法记载在他的数学著作 《缀术》一书里。
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祖冲之还曾推出两个近似于π的分数值。一个是 = 3。142857，这个
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数称为“约率”，或称“疏率”，它比π的真值大0。0012。另一个是
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=3。1415929…，这个数称为“密率”，它比π约大0。0000002。用这样一个
接近于π的简单分数来表示π，的确是祖冲之的惊人发现。在祖冲之发现“密
率”后 1000多年，欧洲人安托尼兹才重新发现了这个值。
公元1300年前后，元代赵友钦重复了这个问题的研究。他从圆内接正4
边形开始，陆续增加到16384边形，证实了祖冲之的数值是十分精确的。他
的方法被记载在他的著作《革象新书》上。
祖冲之的伟大贡献，使中国对π值的计算领先了1000年，它标志着中国
古代高度发展的数学水平。十分遗憾的是，“学官莫能究其深奥，是故废而
不理。”《缀术》一书后来竟在11世纪失传。宋代（13世纪）以前的早期
数学著作也都无可挽回地散失了。因此当耶稣令传教士走上历史舞台时，甚
至没有人能够把中国过去数学上的光辉成就告诉他们。直至18世纪，人们从
公元656年修的《隋书·律历志》中，得知了《缀术》这部书及其祖冲之取
得的结论。人们进一步得知，在 《律历志》校刘歆“斛铭”及校北周武帝保
定元年 （公元561年） “玉斗”时，均已使用祖冲之的圆周率π
=3。14159265……。在宋代沈括也对它发生了兴趣，并且他在《梦溪笔谈》中
讨论过它。从此“赤水遗珍”重新发现，直到我们这个时代，历史的迷雾完
全解开，中国人在求圆周率π方面的工作才得到人们的应有重视。
自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认之后，日本数学史家三
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上义夫建议把“密率” （ ）称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。
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这种叫法在解放后已通行于全国。
在此，还要提一下，在世界各地圆周率π的值研究发展情况。
17世纪以前，世界各国对圆周率的研究工作仍限于利用圆的外切和内接
正多边形来进行。
1427年，伊朗数学家阿尔·卡西，计算π到16位小数准确，从而打破
了祖冲之保持了近千年的纪录。
1596年，德国数学家鲁道夫准确计算π的值到35位小数，标志着研究
π的一个历史阶段的结束。为求π的更精确的值需另辟途径。
17世纪以后，随着微积分和解析几何的出现，数学家开始用反正切函数
值来表示π。人们还利用无穷级数来求π值。瑞士数学家欧拉就用比较简单
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的无穷级数来表示π、π。他利用微分学的知识证明了
8 32 52 72 （2n 32 33 53 73 （2n 应用上述公式可以算出π的值。
1874年，英国数学家贤可士利用级数算到小数707位。
电子计算机出现以后，1949年，美国有人用电子计算机算到小数2036
位，用时70小时。而现在计算π值到小数万位，已仅是几小时的事了。
科学在发展，技术在进步，历史在前进，古代科学的发展是几乎无法同
现代科学取得丰富而有效的进步相比的。因此，我们不能用现代数学的尺度
去衡量中国古代圆周率π计算方面的贡献。应当把自己置身于迈出最初几步
的那些人的地位，努力了解这对于他们在当时是何等的困难，对于现代所取
得的进展又是何等的重要。这就是历史唯物主义的态度。
谁最早发现木卫三
太阳系内最大的行星——木星，以它奇特的横条花纹、特厚的大气、神
秘的大红斑一直吸引着人们。还有16颗卫星守卫着它，由最里向外的顺序，
分别叫作“木卫一”、“木卫二”、……“木卫十六”。从木卫十二以后四
颗卫星还是近年的空间飞船发现的。然而，根据通常的天文学史记载，木星
的头四颗最大的卫星，是著名物理学家和天文学家伽利略早在300多年前发
现的。1610年1月7日晚，伽利略用自制的望远镜首先看到木星的三颗卫星，
又于13日晚观测到第四颗卫星。但是也有人经过详细的考证，得出另一位天
文学家麦依耳比伽利略还早发现十天。现在木卫所用的次序和名字木卫一（伊
奥），木卫二 （欧罗巴），木卫三（加尼美德）和木卫四（卡里斯托）——
仍是麦依耳命名和安排的，而伽利略给木卫取的“美的斯星”根本没有人用。
所以，现在国外许多出版物中，有的已把麦依耳和伽利略并列作为木星的四
颗大卫星的发现者。但是1980年10月，研究中国古天文学的席泽宗则考证
出，我国战国时代（公元前476～前221年）的天文学家甘德，可能在伽利
略前约2000年就已发现木星的第三颗卫星了。
在我国战国时期有两位较著名的天文学家，一位是魏国的石申，另一位
就是齐国的甘德。他们的生平不详，秦朝之前的古书，木星是记载得最多的
一颗行星，当时称为“岁星”。战国时期的名作《左传》和《国语》，常常
拿岁星的位置来记载某一件事件的发生的日期。甘德当时著有《岁星经》和
《天文星占》两部著名的古代天文著作，可惜早已失传。唐代瞿昙悉达编了
一本《开元占经》（成书于716～726年之间），但该书在唐以后一度佚失，
直至明万历四十四年（1616年），幸而有人偶然在古佛腹中发现。书中保存
了甘德的两部著作中的一部分内容。席泽宗在这本书卷二十三《岁星占》中，
发现引用的甘德的一段话：“甘氏曰：单阏於岁，摄提格在卯，岁星在子，
与媭女、虚、危晨出夕入，其状甚大有光，若有小赤星附于其侧，是谓同盟。”
这里“同盟”二字在春秋战国那个动乱时期是用得相当普遍的，意思是两个
或几个国家为了共同目标而结成的永久的联合。这里的岁星是指木星，“同
盟”是指木星同附属于它的小星组成一个系统。这里的赤色是指浅红色。例
如唐代孔颖达在解释《礼记·月令》“驾赤骝”中，有一句说“色浅曰赤，
色深曰朱”。而根据现在的观测资料，木卫一和木卫三呈橙红色，木卫二和
木卫四呈现深黄色，所以甘德的这段话表明，他已发现木星有浅红色的卫星。
还可以推算出甘德发现的确切年代。中国古代天文学家同近代天文学家
一样，也把天空中的星星分成了许多区，每个也取一个名字。把地球绕太阳
公转运行的轨道 （称为黄道）分成28个区域，常称为28宿。每个宿中选定
的一颗星作为测量天体位置的标准星，叫该宿的距星。其中北方七星中的距
星为斗、牛、女、虚、室、壁，分别相当于现在天文学上的人马座ψ、摩羯
座β、宝瓶座ε、宝瓶座β、宝瓶痤α、飞马座α及飞马座γ等七颗星。由
于量度这些距星的参考点（通常用春分点），每年都要向西退一点，约71
年向西退1度，在天文学上叫岁差。这些距星与春分点的距离在不同年代是
不同的，但可以从现在的位置反推出春秋战国时的位置。另外，二十八宿中，
相邻两宿距星之间的位置，也可定出来。早在春秋之前，人们就已认识到木
星约12年运行一周，人们把木星每年所在的位置作为纪年，于是又把木星运
行的轨道分为十二分（子、丑、寅……十二地支来命名），称为十二次。《开
元占经》中引甘氏的话“岁星在子”即为木星当时的位置。媭女即女宿，虚
为虚宿”。“单阏於岁”据推算是公元前364年。经过一些计算，就得出甘
德发现木卫最可能的时间是在公元前364年的8月7日。这时又知木星离地
球最近，最容易观测，并且木星与距星女、虚、危、宿同时晨出夕入，与甘
德所讲的完全一致。因此可以认为，甘德发现木卫最可能的时期就在公元前
364年盛夏，比伽利略和麦依耳早了近2000年。甘德虽然没有留下系统的记
录，在当时的历史条件下，他也不可能意识到已发现木卫，但是在近 2000
年前能有这一发现，不能不说这是我国天文学史上的一次成就。
然而，伽利略和麦依耳是用望远镜发现木卫的，在甘德那个没有望远镜
的时代，能用肉眼看到木卫吗？现在观测得知，木星的四个卫星的运动在最
接近地球时，平均视星等为5等，与木星的角距离约为2角分18角秒～10
角分18角秒之间。正常人的肉眼能看到最暗的星等为6等（星等数越大光也
越暗），肉眼的分辨率也近1角分。因此，在正常情况下，肉眼看到这四个
卫星是没有问题的。问题在于木星的光太亮，它耀眼的光辉会把这些暗弱的
卫星给淹没了。是否会当木卫运行到特定的位置上，例如两个以上的卫星运
行到木星的同一侧时，彼此加在一起的光亮使得有看到的可能性呢？这需要
人们作观测来检验，不过德国著名的地理学家洪堡曾经记载过，他认识一位
裁缝，名叫邵恩，是布劳斯累城 （今波兰弗罗兹茨瓦）的人。当他年轻时曾
在无月而晴朗的夜晚，能够相当精确地指出这四个木星主要卫星的位置，然
而这位裁缝年老以后就不再能把这些木星卫星分辨出来了。曾访问过中国的
美国波士顿大学教授布雷彻说，他有两个美国天文学朋友曾讲过。至少都看
到过一颗木星卫星。其他科学家，如美国天文学家巴纳德也曾声称有时能看
到木星卫星。可见视力比较好的肉眼在一定条件下是可能分辨出最亮的木卫
的。
不久前，北京天文馆用天象仪的导光玻璃丝作模拟实验，分别取木星和
卫星的同样亮度，发现当卫星离开木星5角分时，目力好的人就可看见。从
这一实验初步断定，甘德所看到的是木卫三或木卫四，以木卫三的可能性最
大，因为它最亮也最大。为了进一步证实用肉眼能看到木星的卫星，1981年
3月上旬，北京天文馆组织人员到河北省兴隆县的北京天文台观测站，作肉
眼观测。兴隆观测站远离城市，不受灯光影响，海拔970米，空气清洁，大
气宁静，具有良好的观测条件。是时木星同地球相距仅6亿公里，这是观测
的大好时机。3月9日夜12点，天气异常晴朗，几乎无风，一弯新月早已落
入地平，万籁俱寂，正南天空，木星和土星相距1度多。观测人员的眼睛经
过几分钟的适应后，首先认出狮子座中约6等的五颗暗星。这几颗星与木星
的卫星差不多暗，从而说明人的肉眼具有看到木卫的能力再仰望北斗七中的
第六星，在它附近还有一个辅星，两星相距在11角分之内。有了这些亮度和
角分间距的印象，就可观测木星周围大致同样的间距、同样暗弱的天体了。
当时木星光芒四射，可�