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布拉姆斯说道：“像每一位有自尊心的政治科学家一样，我考虑应在政府中从事某些工作，但不愿意在和平队里干活。”在1963年和1964年夏季里，他先在国家卫生研究所任所长，而后又到国防部部长办公厅任职。当他完成研究生学业时，他已把整个身心投入国防分析研究所的工作，那是一家非盈利的研究机构。主要是为联席参谋长和国防部长办公室工作。布拉姆斯回忆道：“我被特别雇用从事如何在国防部进行决策的研究。在6个月内，我设计并预先试验了一种调查表。我将要进入战地并会见一些高层人物——副部长、将军、舰队司令——可是国防分析研究所所长停止了这些研究工作。这时越南战争升级，热化，而所长认为这项研究太成问题，特别是由于国防部是国防分析研究所的主要委托人。我感到非常恼怒，并且断定能够自由和独立地做我想做的事的惟一地方是大学。”
他开始在罗彻斯特大学教学，校内拥有国内最有效地进行定量分析的政治科学系。曾经分析1956年众议院关于学校建设问题投票的赖克当时正在罗彻斯特大学，于是布拉姆斯从他那里获益匪浅，对对策论产生了强烈的爱好。而且，布拉姆斯补充道：“从那时起，我从未离开过这个主题。”
对策论的评论家们不时指责它是一门诡诈科学，为赞成政治掮客的狡猾策略而打上了数学的印记。然而对策论不会产生表决的悖论，它只不过用形式的方法来认可它们而已。1956年众议院就学校建设议案所做的悖论表决是自然产生的，而不是由于国会众议员们从马基雅维里式的某些对策论杂志中获得的提示得来的。
一旦悖论被正式认可，对策论就能有助于评估悖论通常是如何产生的。例如，现在我们看看法国数学家孔多塞的观察，由每个人投票决定的群体优先选择在悖论上可能是“非传递性”；如想吃快餐的群体，宁愿去麦克唐纳而不愿去伯格王，宁愿去伯格王而不愿去温迪，然而又喜爱温迪胜过麦克唐纳。如果这个群体由3个人组成（罗纳德、克拉拉和赫布），而仅当每个餐馆首先由一个人排序，其次由另一个人排序，第三再换一个人排序时，这种“非可递性”就将出现。假定所有可能的个人优先选择看来都是相等的，则整个群体的非可递性的机会为5。6％。这个数字看来似乎不大，但要记住这个百分率只不过是针对了个人和3个选择对象的最简单情况。
布拉姆斯在《政治学中的悖论》一书中总结了更复杂情况中群体非传递性概率的最新研究，其结果是在选择对象和投票人数目增加的两种情况下，非传递性的概率才增加，但它对选择对象的数目更为敏感。如果选择对象固定数为3时，则悖论的可能性会略有增加，从5。6％（投票人为3时）增加到8。8％（投票人数接近于无穷大）。如果投票人固定数为3的时候，则悖论的可能性会陡然上升，从5。6％（选择对象为3时）增加到100％（由于选择对象数接近无穷大）。的确，布拉姆斯特别提到对于投票人的任何固定数，由于选择对象数无穷地增加，悖论的概率必然会逐渐上升。
摘自史蒂文。布拉姆斯著《政治学中的悖论》（纽约，1976年自由出版社）第42页。
对策论中的数学可以与许多其他抽象数学学科中所涉及的数学进行简单的比较。但它决不是无价值的。的确，数学常常会导出反直觉的或者违背所预期的结果。数学的简明性不会使对策论的严密性比高维拓扑学的严密性更差，刊登这种问题的杂志也只有一小部分博士能够读懂。简明性甚至可能是优点：对策论中的数学是这样容易理解，从而几乎没有可能由于文献中的数学论述模糊难懂而引不起人们的兴趣。
美国数学学会的全体官员都认为布拉姆斯的论述有误。这样一个著名的数学家团体能出现差错的事实表明对策论的结果是如何令人吃惊。这种错误论述出现在美国数学学会的投票说明上，学会会员将使用该说明选出参加特别委员会的代表。对于这次投票，美国数学学会恢复了表决程序，采用单一的可转让投票制度（又称选择投票法）。它是19世纪50年代后期由不引人注意的英国律师托马斯。黑尔提出的，他曾撰写过两本书，批判传统的投票制度。
黑尔曾特别为下述事实所苦恼：在传统的比例代表制中，每个选区选举一位以上的候选人，实际上，为数甚多的少数选民可能会被剥夺掉选举权，尽管他们的原号码表明他们有资格选出代表。现考虑一个假设的选区，要从4位候选人中选出两位代表。把其中的两位候选人称作匈奴人阿蒂拉和吉。乔，他们都是典型的保守派人士，两人中阿蒂拉是极右人士。另外两位候选人是哈尔。汉道特和弗里达。弗里拉夫，他们都是自由派。两人中弗里拉夫更富有同情心。该选区内有23位选民，其中13位是保守派，10位是自由派。23位选民的选举意愿，按照对候选人的选择从第一选择到最后选择的顺序排列如下：选民数 第一选择 第二选择 第三选择 第四选择7 阿蒂拉 吉。乔 汉道特 弗里拉夫6 吉。乔 阿蒂拉 汉道特 弗里拉夫6 汉道特 弗里拉夫 吉。乔 阿蒂拉4 弗里拉夫 汉道特 吉。乔 阿蒂拉在选举中，每位选民允许选出两位候选人，阿蒂拉和吉。乔都将当选。因为这两位候选人每位都各得13票。结果是10位自由派选民将没有代表，即使他们构成全体选民的43％。而13位保守派选民仅构成全体选民的57％，却有100％的代表。
黑尔认为，所选出的代表应更精密地反映全体选民的构成，他巧妙地设计出一种复式选举制，它要求每位选民按其选举意愿顺序列出候选人名单，使选民能在候选人中间区别他们。然后把第一选择投票列成表格，而候选人只要达到定额选票，都要当选。
定额需要计算，它应是第一位选票的最小数，使得最大数目的候选人都能达到与候选席位数相符合的定额。例如上述例子中，有23位选民和2席候选席位，当选的定额应是8票；这样只有2位候选人（并非3位）能得到8票的第一位选票。定额定为7票又太低，因为有3位候选人可能会达到这个定额；由于只有两个待选席位，因此达到定额的候选人多出了一位。（一般说来，定额可用下法求出，即用选民数除以比待选席位大1的数，再加1即为定额数，但要舍去得出的任何分数。）
假设至少有一位候选人达到了定额选票，而且至少仍有一个席位空缺待选，那么当选的候选人超出定额的选票会按比例地转移到那些选民票数多的候选人身上。如果这种转移促成另一位候选人达到定额，那么他也当选；而且如果席位仍然未满，则超额的选票会再次按比例地转移。这个过程会继续下去，直到所有席位选满为止。如果在任何一处还有待选席位，但却没有超额选票转移，那么得票数最低的候选人就会被淘汰掉，而他的支持者会简单把他们的选票转移到他们选择的、票数最多的、仍在参加竞选的候选人身上。这个概念就是不会有选票作废的概念；如果选举需要选出的不只是一位候选人，可以在别处计票；如果把它分散在最少选票的候选人身上，也可以在别处计票。
理解这些选举规则的最好方法是把它们应用于具体实例上。
试把这些章程用于我们上面设想的选区内。由于定额是8票，4位候选人中每位都不能达到定额。因此得票最少的候选人弗里达。弗里拉夫就被淘汰掉，而她的4位支持者将他们的选票转移给哈尔。汉道特，即他们的第二选择。如果弗里拉夫已从选举意愿表中淘汰掉，那么其顺序表如下：选民数 选举意愿（从最好到最差）
7 阿蒂拉 吉。乔 汉道特6 吉。乔 阿蒂拉 汉道特10 汉道特 吉。乔 阿蒂拉现在哈尔。汉道特已超过定额2票，因此他已当选，他的超额两票已转移到吉。乔身上：选民数 选举意愿（从最好到最差）
7 阿蒂拉 吉。乔8 吉。乔 阿蒂拉这时吉。乔也已达到定额票数，所以他赢得了另一席位。
汉道特和吉。乔的当选使黑尔兴奋：不论保守派还是自由派都有了代表，每个阵营中比较激进的候选人均未能当选。这样一种结果给约翰。斯图尔特。穆勒以深刻印象，他称颂黑尔的选举制是“在政府的理论和实践方面所做出的最伟大的改进之一”。今天，黑尔的选举制已广泛地用于澳大利亚、马耳他、爱尔兰共和国和北爱尔兰的立法选举和纽约市的学校董事会选举以及马萨诸塞州坎布里奇市的市政委员会选举上，更不必说许多像美国数学学会这一类的专业组织的投票选举了。
美国数学学会的投票包括两种强硬的说法：“标出较少的候选人不会获得战术上的有利条件。”以及“按你的选举意愿顺序标出候选人，直到你认为不了解或你不感兴趣而没有标出的候选人，这是可取的。”而布拉姆斯举出了一个能够证明这种做法是不真实的例子，它可能有利于标出较少数的候选人。假定有17位选民，2个待选席位和4位候选人，现称他们为格拉夫博士、迪济特博士、波因特博士、马尼福尔德博士，选民的选举意愿顺序如下：组选别民 选举意愿顺序（从最好到最差）
数A 6 格拉夫博士 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B 6 格拉夫博士 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 5 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士格拉夫博士赢得了17张选票，定额为6票，超额了11票。因此这11票需要转移。在这种情况下，选民们都支持当选者，不会再做其他选择了。而黑尔的选举章程（这是美国数学学会所遵循的）要求将超额的11票按比例地转移：11票的6／17转移到A组，11票的6／17转移到B组，而11票的5／17转移给C组，其结果如下：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B 3。9 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 3。2 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士由于没有一个候选人能达到定额，得票最少的候选人马尼福尔德博士就被淘汰掉，而其支持者的3。2票会转移到他们选举的选票高的候选人波因特博士身上：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7。1 迪济特博士 波因特博士B 3。9 波因特博士 迪济特博士现在迪济特博士已超过6票定额，所以他与格拉夫博士一样，成为当选的候选人。
B组的6位选民（其选举意愿顺序为格拉夫博士、波因特博士、马尼福尔德博士和迪济特博士）为他们的第一选择当选而高兴，但也感到不安，因为他们的最后选择也当了选。假定选举重复下去，一切照旧，那么6个选民中就有两位决定不去理会美国数学学会的说法（“标出较少的候选人不会获得战术上的有利条件”），而且都把选票投在格拉夫博士身上。这样选举意愿就会分成4类：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 6 格拉夫博士 迪济特博士波因特博士 马尼福尔德博士B‘ 4 格拉夫博士 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士B“ 2 格拉夫博士C 5 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士在第一个顺序表上，格拉夫博士再次成为全体选民一致选择。他支持者的11票超额选票的6／17分配给A组，4／17分配给B’组，2／17分配给B”组，还有5／17分配给C组。于是B“组就被淘汰了。因为其成员除在第一选择外不能再标出其选举意愿了。因此情况形成如下：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B‘ 2。6 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 3。2 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士在第一次选举中，第二位候选人未能达到定额，所以得票最低，也就是说波因特博士就被淘汰掉，而他的支持者的2。6张选票要归并到C组中：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 波因特博士 马尼福尔德博士C、B‘ 5。8 马尼福尔德博士 波因特博士其余的两位候选人都少于定额的6票，但波因特博士由于票数较少而被淘汰，而马尼福尔德博士就被宣布当选。B组中两位聪明的选民标出了不足的选票反而得到更可取的结果：他们的第三选择而不是第四选择就赢得了一个席位。
在实际的选举中，这样的结局可能难以实现，布拉姆斯写道：“我希望能搞清楚。我并不是说投票者会一成不变地把战略考虑搞得很绝对（在美国数学学会投票说明的反例中）。这些考虑不仅相当复杂，有时还由于其他选民在对策运用方面的反策略考虑而形成中立。相反，我认为投票者按选举意愿对所有候选人的顺序进行排列的意见，在黑尔选举制下并不总是合理的。”
况且，在布拉姆斯的反例中，如果B组中有太多的选民试图进行巧妙投票并投了不足的选票，那么结果会失控。假定6位选民中有5位在其投票中只投格拉夫博士，那么在第一次投票之后，情况就会变成：由于没有一位候选人达到定额，因此波因特博士被迫退出，而其支持者加入C组；组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 马尼福尔德博士C、B‘3。8 马尼福尔德博士 迪济特博士这次马尼福尔德博士必须退出竞选了，剩下的迪济特博士是获胜者，与原先B组的6位选民在他们的选票上排列全部4位候选人时他所处的位置一样。
由于惟恐你认为布拉姆斯的反例取决于当选票按比例地转移时而产生的分数，他解释了另一个反例，只是在这个反例中，全部选票由于候选人被淘汰而转移。这个实例涉及了21位选民，他们要从4位候选人当中选出1位代表。由于只有1位候选人被选，因此这种投票选举制是一种淘汰竞选，选举则在1位候选人获得11票的微弱多数后就立即终止。我把这个问题留给你，让你充当对策论学家的角色并解释一个反例。当然，其目标是以下述方式确定选举意愿，即让一些选民可以从不理会美国数学学会的意见而得到好处。（在本章最后你会看到布拉姆斯所提出的反例。）
黑尔选举制的问题，要比这些公认的人为的反例深得多；仅仅知道某些选举意愿，或只有一些选民确切掌握有关他们竞选伙伴的全部选举意愿，这些难题就会出现，如果“敌对”的选民没有采取有效的对抗策略，或者如果相当多具有同样想法的选民不试图采用巧妙的花招，问题也同样会出现。罗彻斯特大学的吉迪恩。多隆和理查德。克罗尼克提请人们注意黑尔选举制的反常特点，即使所有选民都能诚恳地投出反映他们全部选举意愿的选票，这种反常特点也会出现。①多隆和克罗尼克注意到，在黑尔的选举制中，一位候选人如果接受附加选票，那么他可能受到损害。的确，多余的选票可能使一位当选者成为落选者。
为了理解这种反常的可能性，可考虑多隆和克罗尼克的例子。
并以我们的老朋友阿蒂拉、吉。乔、哈尔。汉道特和弗里达。弗里拉夫为例。这次该选区有26位选民，有2位候选人当选，所以定额为9票，26位选民的意愿是多种多样的，不必划分自由派阵线和保守派阵线：由于阿蒂拉已经达到定额票，他当选了。阿蒂拉没有超额的选票，所以是最低票数的当选者，而吉。乔被淘汰了，他的5张选票转移给B组：汉道特拥有11张选票，因此当选了。
现考虑第二组选举意愿，除两位选民外，它与前一组相同，原先这两位选民宁愿投弗里拉夫票，不愿投汉道特票（C组），现在改而投汉道特票，不投弗里拉夫票（C‘组）。换句话说，C’组的选举意愿与B组的选举意愿相同。因而汉道特开始有8张第一位选票，比以前多了两票：阿蒂拉已再次立即当选，没有超额选票转移。然而这次最低票数当选者是弗里拉夫，不是吉。乔。而且弗里拉夫的4票与E组中的5票结合，选出吉。乔，超出定额：组别 选票数 选举意愿（从最好到最差）
B 6 汉道特 吉。乔C‘ 2 汉道特 吉。乔E、D 9 吉。乔 汉道特这样的结果不太反常。回想一下，除了2位选民把汉道特从第二选择抬高到第一选择外，所有的选举意愿顺序都是一样的。这样就具有否定他的选举的效果。多隆和克罗尼克得出结论：“这简直太不公平，1位候选人落选了，是因为他（或她）得到的选票过多了。大多数选民可能会十分反感和愤怒，被转让了，他们听到假想的（但是理论上是可能的）选举之夜的报道：”奥格雷迪先生在今天选举中没有获得席位，但是，如果在第二个地方而不是在第一个地方有5，000名支持者投他的票，那么他会反败为胜的！’“
过多的选票能使一位当选者成为落选者这一反常的可能性，不仅仅是黑尔选举制的人为产物。美国电话电报公司贝尔实验室的数学家布拉姆斯和彼得。菲什伯恩在其合著的《认可的选举》一书中指出，它还可能困扰着类似于流行的相对多数选举这样的选举制，该选举制必然会产生2位得票最多的候选人之间的最后角逐。现在考虑3位候选人，马尔柯。迪拿芝、帕特里克。奥罗克、巴兹尔。杰斐逊，同时有17位选民，他们的选举意愿如下：组别 选票数