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（这一切都以诗的形式表现在但丁的《天堂篇》里。）
地上的四种元素并不是永恒的，而是彼此互相产生出来的——火就其自然运动乃是向上的这种意义而言，便是绝对的轻；土则是绝对的重，气是相对的轻，而水则是相对的重。
这种理论给后代准备下了许多的困难。被人认为是可以毁灭的彗星就必须划归到月亮以下的区域里面去了，但是到了十七世纪人们却发见彗星的轨道是围绕着太阳的，并且很少能象月亮距离得这么近。既然地上物体的自然运动是直线
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的，所以人们就认为沿水平方向发射出去的抛射体在一定时间之内是沿着水平方向而运动的，然后就突然开始垂直向下降落。伽利略发见抛射体是沿着抛物线而运动的，这一发见吓坏了他的亚里士多德派的同事们。哥白尼、开普勒和伽利略在奠定地球不是宇宙的中心，而是每天自转一次、每年绕太阳旋转一周的这一观点时，就不得不既要向圣经作战，也同样要向亚里士多德作战了。
我们再来看一个更带普遍性的问题：亚里士多德的物理学与本来系由伽利略所提出的牛顿“运动第一定律”是不相符的。牛顿的运动第一定律说，每个物体如果已经是在运动着的话，则当其自身不受外力作用时就将沿直线作等速运动。
因此就需要有外部的原因，——并不是用以说明运动而是用以说明运动的变化，无论是速度的变化、还是方向的变化。
亚。。
里士多德所认为对于天体乃是“自然的”那种圆运动，其实包含着运动方向的不断变化，因此按照牛顿的引力定律，就需要有一种朝向圆心而作用着的力。
最后：天体永恒不毁的这一观点也不得不被人放弃了。
太阳和星辰有着悠久的生命，但却不是永远生存的。它们是从星云里生出来的，并且最后不是爆炸就是要冷却而死亡。在可见的世界里，并没有什么东西是可以免于变化和毁灭的；亚里士多德式的与此相反的信仰，尽管为中世纪的基督徒所接受，其实乃是异教徒崇拜日月星辰的一种产物。
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第二篇 苏格拉底、柏拉图、亚里士多德３０３
第二十四章 希腊早期的数学与天文学
我在本章里要讨论的是数学，并不是由于数学本身的缘故，而是因为它与希腊哲学有关系——有着一种（尤其是在柏拉图的思想里）非常密切的关系。希腊人的卓越性表现在数学和天文学方面的，要比在任何别的东西上面更为明显。
希腊人在艺术、文学和哲学方面的成就，其是好是坏可以依据个人的口味来评判；但是他们在几何学上的成就却是无可疑问的。他们从埃及得到了一些东西，从巴比伦那里得到的则很少；而且他们从这些来源所获得的东西，在数学方面主要地是粗糙的经验，在天文学方面则是为期非常悠久的观察记录。数学的证明方法，则几乎是完全起源于希腊。
有许多非常有趣的故事——或许并没有历史真实性——可以表明，是哪些实际问题刺激了数学的研究。最早的最简单的故事是关于泰勒斯的，传说他在埃及的时候国王曾要他求出一个金字塔的高度。他等到太阳照出来他自己影子的长度与他的身高相等的时候，就去测量金字塔的影子；这个影子当然就等于金字塔的高度。据说透视定律最初是几何学家阿加塔库斯为了给伊斯奇鲁斯的戏剧画布景而加以研究的。
传说是被泰勒斯所研究过的求一只船在海上的距离的问题，在很早的阶段就已经很正确地解决了。希腊几何学所关心的大问题之一，即把一个立方体增加一倍的问题，据说是起源于某处神殿里的祭司们；神谕告诉他们说，神要的一座雕象
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比他们原有的那座大一倍。最初他们只是想到把原象的尺寸增加一倍，但是后来他们才认识到结果就要比原象大八倍，这比神所要求的要更费钱得多。于是他们就派遣一个使者去见柏拉图，请教他的学园里有没有人能解决这个问题。几何学家们接受了这个问题，钻研了许多世纪，并且附带地产生出了许多可惊可叹的成果。这个问题当然也就是求２的立方根的问题。
２的平方根是第一个有待发现的无理数，这一无理数是早期的毕达哥拉斯派就已经知道了的，并且还发现过种种巧妙的方法来求它的近似值。最好的方法如下：假设有两列数字，我们称之为ａ列和ｂ列；每一列都从１开始，每下一步的ａ都是由已经得到的最后的ａ和ｂ相加而成；下一个ｂ则是由两倍的前一个ａ再加上前一个ｂ而构成。这样所得到的最初６对数目就是（１，１）
，（２，３）
，（５，７）
，（１２，１７）
，（２９，４１）
，（７０，９）。在每一对数目里，２ａ２－ｂ２都是１或者是－１。于是ｂａ就差不多是２的平方根，而且每下一步都越发地与之接近。
例如，读者们将会满意地发见，９９７０的平方是B非常之接近于与２相等的。
普洛克鲁斯描述过毕达哥拉斯——此人永远是个颇为蒙胧的人物——乃是第一个把几何学当作一种学艺的人。许多权威学者，包括汤姆斯。希斯①爵士在内，都相信华达哥拉斯或许曾发见过那个以他的名字命名的定理；那个定理是说
①见所著《希腊的数学》，卷一，第１４５页。
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在一个直角三角形中，弦的平方等于两夹边的平方之和。无论如何，这个定理是在很早的时期就被毕达哥拉斯派所知道了的。他们也知道三角形的内角之和等于两个直角。
除了２的平方根之外，其他的无理数在特殊的例子里也曾被与苏格拉底同时代的狄奥多罗斯研究过，并且曾以更为普遍的方式被与柏拉图大致同时而稍早的泰阿泰德研究过。
德谟克里特写过一篇关于无理数的论文，但是文章的内容我们已不大知道了。柏拉图对这个题目是深感兴趣的；他在以“泰阿泰德”
命名的那篇对话里提过了狄奥多罗斯和泰阿泰德的作品。在《法律篇》中，他说过一般人对这个题目的愚昧无知是很不光彩的，并且还暗示着他自己之开始知道它也是很晚的事情。它当然对于毕达哥拉斯派的哲学有着重要的关系。
发见了无理数的最重要的后果之一就是攸多克索（约当公元前４０８—３５５年）
之发明关于比例的几何理论。
在他以前，只有关于比例的算数理论。
按照这种理论，如果ａ乘ｄ等于ｂ乘ｃ，则ａ比ｂ就等于ｃ比ｄ。这种界说，在还没有有关无理数的几何理论时，就只能应用于有理数。然而攸多克索提出了一个不受这种限制的新界说，其构造的方式暗示了近代的分析方法。这一理论在欧几里德的书里得到了发展，并具有极大的逻辑美。
攸多克索还发明了或者是完成了“穷尽法”
，它后来被阿几米德运用得非常成功。
这种方法是对积分学的一种预见。
譬如，我们可以举圆的面积问题为例。你可以内接于一个圆而作出一个正六边形，或一个正十二边形，或者一个正一千边
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或一百万边的多边形。
这样一个多边形，无论它有多少边，其面积是与圆的直径的平方成比例的。
这个多边形的边越多，则它也就越接近于与圆相等。你可以证明，只要你能使这一多边形有足够多的边，就可以使它的面积与圆面积之差小于任何预先指定的面积，无论这一预先指定的面积是多么地小。
为了这个目的，就引用了“阿几米德公理”。这一公理（多少加以简化之后）是说：假设有两个数量，把较大的一个平分为两半，把一半再平分为两半，如此继续下去，则最后就会得到一个数量要小于原来的两个数量中较小的那一个。换句话说，如果ａ大于ｂ，则必有某一个整数ｎ可以使２ｎ乘ｂ大于ａ。
穷尽法有时候可以得出精确的结果，例如阿几米德所做的求抛物线形的面积；有时候则只能得出不断的近似，例如当我们企图求圆的面积的时候。求圆的面积的问题也就是决定圆周与直径的比率问题，这个比率叫作π。
阿几米德在计算中使用了２７的近似值，他做了内接的与外切的正９６边形，从
而证明了π小于３１７并大于３１０７１。这种方法可以继续进行到任何所需要的近似程度，并且这就是任何方法在这个问题上所能尽的一切能事了。使用内接的与外切多边形以求π的近似值，应该上溯到苏格拉底同时代的人安提丰。
欧几里德——当我年青的时候，它还是唯一被公认的学童几何学教科书——约当公元前３００年，即当亚历山大和亚里士多德死后不久的几年，生活于亚历山大港。他的《几何原本》绝大部分并不是他的创见，但是命题的次序与逻辑的
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结构则绝大部分是他的。一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞叹。他用有名的平行定理以处理平行线的办法，具有着双重的优点；演绎既是有力的，而又并不隐饰原始假设的可疑性。比例的理论是继承攸多克索的，其运用的方法本质上类似于魏尔斯特拉斯所介绍给十九世纪的分析数学的方法，于是就避免了有关无理数的种种困难。然后欧几里德就过渡到一种几何代数学，并在第十卷中探讨了无理数这个题目。在这以后他就接着讨论立体几何，并以求作正多面体的问题而告结束，这个问题是被泰阿泰德所完成的并曾在柏拉图的《蒂迈欧篇》里被提到过。
欧几里德的《几何原本》毫无疑义是古往今来最伟大的著作之一，是希腊理智最完美的纪念碑之一。当然他也具有典型的希腊局限性：他的方法纯粹是演绎的，并且其中也没有任何可以验证基本假设的方法。这些假设被他认为是毫无问题的，但是到了十九世纪，非欧几何学便指明了它们有些部分是可以错误的，并且只有凭观察才能决定它们是不是错。。
误。
欧几里德几何学是鄙视实用价值的，这一点早就被柏拉图所谆谆教诲过。
据说有一个学生听了一段证明之后便问，学几何学能够有什么好处，于是欧几里德就叫进来一个奴隶说：“去拿三分钱给这个青年，因为他一定要从他所学的东西里得到好处。”然而鄙视实用却实用主义地被证明了是有道理的。
在希腊时代没有一个人会想象到圆锥曲线是有任何用处的；最后到了十七世纪伽利略才发现抛射体是沿着抛物线而运动的，而开普勒则发现行星是以椭圆而运动的。于是，希腊人
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由于纯粹爱好理论所做的工作，就一下子变成了解决战术学与天文学的一把钥匙了。
罗马人的头脑太过于实际而不能欣赏欧几里德；第一个提到欧几里德的罗马人是西赛罗，在他那时候欧几里德或许还没有拉丁文的译本；并且在鲍依修斯（约当公元４８０年）
以前，确乎是并没有任何关于拉丁文译本的记载。阿拉伯人却。。
更能欣赏欧几里德；大约在公元７６０年，拜占庭皇帝曾送给过回教哈里发一部欧几里德；大约在公元８００年，当哈伦。
阿尔。拉西德在位的时候，欧几里德就有了阿拉伯文的译文了。
现在最早的拉丁文译本是巴斯的阿戴拉德于公元１１２０年从阿拉伯文译过来的。从这时以后，对几何学的研究就逐渐在西方复活起来；但是一直要到文艺复兴的晚期才做出了重要的进步。
我现在就要谈天文学，希腊人在这方面的成就正象在几何学方面是一样地引人注目。在希腊之前，巴比伦人和埃及人许多世纪以来的观察已经奠定了一个基础。他们记录下来了行星的视动，但是他们并不知道晨星和昏星就是一个。巴比伦无疑地，而且埃及也可能，已经发现了蚀的周期，这就使人能相当可靠地预言月蚀，但是并不能预言日蚀；因为日蚀在同一个地点并不是总可以看得见的。把一个直角分为九十度，把一度分为六十分，我们也是得之于巴比伦人的；巴比伦人喜欢六十这个数目，甚至于还有一种以六十进位的计数体系。希腊人总是喜欢把他们的先锋人物的智慧都归功于是游历了埃及的结果，但是在希腊人以前，人们所成就的东西实在是很少的。然而泰勒斯的预言月蚀，却是受了外来影
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响的一个例子；我们没有理由设想他在从埃及和巴比伦那里所学到的东西之外又增加了什么新东西，并且他的预言得以证实，也完全是幸运的偶合。
让我们先看希腊人最早的一些发现与正确的假说。阿那克西曼德认为大地是浮荡着的，并没有任何东西在支持它。
亚里士多德①总是反对当时各种最好的假说的，所以他就反驳阿那克西曼德的理论，亦即大地位于中心永远不动，因为它并没有理由朝着一个方向运动而不朝另一个方向运动。亚里士多德说，如果这种说法有效，那么一个人若是站在圆心，纵令在圆周的各点上都摆满了食品的话，他也会饿死的，因为并没有理由要选择哪一部分食品而不选择另一部分食品。这个论证重行出现于经院哲学里，但不是与天文学联系在一起，而是与自由意志联系在一起的。它以“布理当的驴”的形式而重行出现，布理当的驴因为不能在左右两边距离相等的两堆草之间做出选择，所以就饿死了。
毕达哥拉斯有极大的可能是第一个认为地是球形的人，但是他的理由（我们必须设想）却是审美的而非科学的。然而，科学的理由不久就被发现了。阿那克萨哥拉发现了月亮是由于反光而发光的，并且对月蚀做出了正确的理论。他本人仍然认为地是平的，但是月蚀时地影的形状却使得毕达哥拉斯派有了拥护地是球形的最后定论性的论据。他们更进一步把地球看成是行星之一。他们知道了——据说是从毕达哥拉斯本人那里知道的——晨星和昏星就是同一个星，并且他
①《论天》，２９５ｂ。
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０１３卷一 古代哲学
们认为所有的星包括地球在内都沿着圆形而运动，但不是环绕着太阳而是环绕着“中心的火”。
他们已经发现了月亮总是以同一面对着地球的，并且他们以为地球也总是以同一面对着“中心的火”。地中海区域位于与中心的火相背的那一面，所以就永远看不见中心的火。
中心的火就叫做“宙斯之家”
或者“众神之母”。太阳是由于反射中心的火而发光的。除了地球之外还有另一个物体，叫做反地球，与中心的火距离相等。
关于这一点，他们有两个理由；一个是科学的，另一个即得自于他们算学上的神秘主义。科学的理由即他们正确地观察到了，月蚀有时是当日月都在地平线之上的时候出现的。这种现象的原因是折射，他们还不知道折射，于是就认为在这种情形下月蚀必定是由于地球之外的另一个物体有影子的缘故。另一个原因就是日、月、五星、地球与反地球以及中心的火就构成了十个天体，而十则是毕达哥拉斯派的神秘数字。。
毕达哥拉斯派的这种学说被归功于费劳罗，他是底比斯人，生活于公元前五世纪的末期。
虽然这种学说是幻想的，并且还有些部分是非常不科学的，但它却非常之重要，因为它包含了设想哥白尼假说时所必需的大部分的想象能力。把地球不设想为宇宙的中心而设想为行星中的一个，不设想为永恒固定的而设想为在空间里遨游的，这就表现出一种了不起的摆脱了人类中心说的思想解放。一旦人在宇宙中的自然图象受到了这种摇撼的时候，就不难以科学的论证把它引到更正确的理论上来了。
有许多观察对于这一点都是有贡献的。稍晚于阿那克萨哥拉的欧诺比德发现了黄道的斜度。不久就明白了太阳到底
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第二篇 苏格拉底、柏拉图、亚里士多德１１３
是比地球大得多，这一事实便支持了那些否认地球是宇宙的中心的人们。中心的火与反地球，在柏拉图的时代之后不久就被毕达哥拉斯派抛弃了。滂土斯的赫拉克利德（他的年代大约是公元前３８—３１５年，与亚里士多德同时）发现了金星与水星都环绕太阳而旋转，并且采取了地球每２４小时绕着它自己的轴线转动一周的见解。这种见解是前人所不曾采取过的一个非常重要的步骤。赫拉克利德属于柏拉图学派，并且一定是一个伟大的人物，但并没有象我们所能期待的那样为人尊敬；他被描述成是一个肥胖的花花公子。
萨摩的亚里士达克大约生活于公元前３１０—２３０年，因此约比阿几米德大二十五岁；他是所有的古代天文学家中最使人感兴趣的人，因为他提出了完备的哥白尼式的假说，即一切行星包括地球在内都以圆形在环绕着太阳旋转，并且地球每２４小时绕着自己的轴自转一周。
但是现存的亚里士达克的唯一作品《论日与月的大小与距离》却还是墨守着地球中心的观点，这件事是有点令人失望的。的确，就这本书所讨论的问题而言，则无论他采取的是哪种理论都并没有任何的不同；所以他可能是认为，对于天文学家的普遍意见加以一种不必要的反对，从而加重他计算的负担，乃是一桩不智之举；或者他也可能是仅仅在写过这部书之后，才达到了哥白尼式的假说的。汤姆斯。希斯爵