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闶谴τ诘ノ徽叫蔚淖蟀氩浚╱0 ＝0）还是右半部（u0＝1）。数列 un，…可以通过掷硬币来确定，故 un的时间迭代 u'n＝Un…1，u''n=un…2。将具有相同的随机性。这表明，点出现于正方形的左半部或右半部的过程可被视为伯努利推移。
面包师变换也具有所有动力学系统都具有的一个重要性质，叫复现。考虑点（x，y），对于该点，序列｛un｝用二进制数表示，它无论是有限的还是无穷的，都是周期性的，故x和y都是有理数。既然所有的Un都以同样的方式推移，那么这一类型的所有状态在一定的时间周期之后都会同样地再循环。这对于大多数其他状态都同样成立。为了说明这一概念，我们考虑无理数点（X，y）的二进制表示，它包含无穷多的非平凡的、不重复的数字。可以证明，几乎所有的无理数都包含无穷个有限数列。因此，在位置0附近2m个数字的给定序列（它确定系统直至2…m误差的状态）将在推移效应的作用下无穷次地重新出现。既然m可以想取多大就取多大（虽然有限），那么这就意味着，几乎每一个状态都将无穷多次地任意趋近任何点（当然也包括初始位置）。换句话说，大部分轨道将经过整个相空间。这就是著名的庞加莱复现定理。长期以来，复现性连同可逆性被提出作为反对真正耗散过程的存在的重要论据。但现在这个观点不再得到支持了。
总之，面包师变换是可逆的、时间可逆的、确定性的、复现的和混沌的。用这个例子说明这些特性特别有益，因为这同一些特性刻画了许多现实世界的动力学系统。我们将看到，尽管有这些特性，混沌允许我们通过在统计层次上进行描述来建立真正的不可逆性。
保守系的动力学包含运动定律和初始条件。此处的运动定律虽然很简单，但有必要详细分析初始条件的概念。单个轨道的初始条件对应于无穷集｛un｝（n＝－∞到＋∞）。但是在现实世界中，我们只能通过有限的窗口进行观察。在目前的情形下，这意味着我们能够控制一个任意的但是有限的数列un。假定这个窗口对应于u…3u…2u…1u0。u1u2u3，其他所有的数字都是未知数字（圆点表示把x和y的数字分开）。伯努利推移Un'＝un…1意味着，在下一步，前一个序列被u…4u…3u…2u…1·u0u1u2所代替，其中包含未知数字u…4。更准确地说，由于正李雅普诺夫指数的存在，我们需要以N＋n位数字的精度知道该点的初始位置，以便在n次迭代后能够以N位数字的精度确定它的位置。
我们在第一章看到，解决这一难题的传统手段是引入粗粒概率分布。这是埃伦费斯特夫妇最先提出的，这样的分布不能用单个点而是用区域进行定义。但是，扩张流形上的两个点，即使在时刻0由给定有限精度的测量是不可分辨的，但以后将随时间而分离，从而可观测。因此，传统的粗粒化不适用于动力学演化。这就是我们需要更精致方法的原因之一。
但首先，我们应当详细分析用面包师变换趋于平衡的含义是什么。尽管像所有的动力学系统那样，面包师变换是可逆的，但对于 t→＋∞和t→－∞的演化却是不同的。在t→＋∞时，我们得到越来越多的水平窄条（见图 4． 3）。相反，在t→…∞时，我们得到越来越多的垂直窄条。
我们看到，对于混沌映射，动力学导致两种类型的演化。所以，我们得到两个独立的描述，一个描述刻画在未来（t→＋∞）趋向平衡，另一个描述刻画在过去（ t→－∞）趋向平衡。我们在后面将看到，此种动力学分解对于混沌映射和不可积经典系统及量子系统是可能的。对于简单动力学系统，无论是谐振子还是二体系统，此种分解均不存在，因为未来和过去不可分辨。对于混沌映射，我们应当保留两个描述中的哪一个？我们将反复回到这一问题上来。眼下，我们考虑所有不可逆过程都具有的内在的普适性。大自然中一切时间之矢都有相同的指向。它们都在同一时间方向产生熵，这据定义就是未来。因此，我们必须保留对应于我们的未来（即对于t→＋∞）达到平衡的描述。
在第一章里，我们提到过与面包师映射相联系的时间佯谬：面包师映射描述的动力学是时间可逆的，但不可逆过程却在统计层次出现。像在伯努利映射中一样，我们可以引入由ρn＋1（x；y）＝Uρn（x，y）所定义的佩龙…弗罗贝尼乌斯算符U。但存在着根本性的差异。一个普遍定理指出，对于可逆动力学系统，存在着仅包含“正经函数”的在希尔伯特空间上定义的谱表示。而且，在这个谱表示中没有衰减，因为本征值为mod 1。这种谱表示对面包师变换也存在，但对我们没有什么意义，因为它不提供任何与轨道相关的新信息，我们只不过回到δ（x…xn＋1）δ（y…yn＋1）=Uδ（x－xn）δ（y…yn），一个等价于轨道描述的解。
为了获得附加信息，如同我们对伯努利映射所做的，我们必须走出希尔伯特空间。就最近才得到的广义空间的谱表示而言，本征值与伯努利映射中的 1／2m相同。本征函数像伯努利映射中的 ~Bn（x）那样是奇异函数。这些表示再次是不可约的，它们仅适用于适当的检验函数，这迫使我们把我们自己眼于连续分布函数，用奇异δ函数表示描述的单轨道除外。像伯努利映射情形一样，个体描述与统计描述之间的等价性被打破了。统计描述只包含趋近于平衡，从而包含不可逆性。
然而，与伯努利映射相比，面包师映射有一个重要的新特点：佩龙…弗罗贝尼乌斯方程既适用于未来，也适用于过去（ρn＋1=Uρn和ρn…1＝U…1ρn，这里 U…1是U的逆）。在希尔伯特空间谱表示的框架下，不论n1和n2的符号（正号指未来，负号指过去）是什么，均有 Un1＋n2＝Un1Un2，所以这没有什么差异。希尔伯特空间可以描述为一个动力学群。相反，对于不可约谱表示，未来和过去之间存在着根本性的差异，Un的本征值表达为（1/2m）n＝e…n（mln2）。这个表达式对应于未来的衰减（n＞0），以及过去的发散（n＜0）。现在，存在着两种不同的谱表示，一个对应于未来，另一个对应于过去。包含于轨道描述（或希尔伯特空间）中的这两个时间方向现在被分开了。动力学群分成了两个半群。如上所述，根据我们所有不可逆过程都指向同一方向的观点，我们必须选择在我们自己的未来达到平衡的那个半群。自然本身由区分过去与未来的半群所描述，存在着一个时间之矢。结果，动力学与热力学之间的传统冲突被化解了。
总之，只要我们考虑轨道，谈论混沌定律似乎就是矛盾的，因为我们处理混沌中负的方面，诸如导致不可计算性和表观无规性的轨道的指数发散。当我们引人在所有时间都有效且可计算的概率描述时，情况会发生戏剧性的变化。因此，对于混沌系统而言，动力学定律必须在概率层次上进行表述。在上面研究的简单例子中，不可逆过程仅与李雅普诺夫时间相联系，然而我们的研究已扩展到更一般的映射，它们包括诸如扩散过程和其他各种输运过程此类的不可逆现象。
IV
第一章提到，统计描述成功地应用于确定性混沌，源于它考虑了相空间中复杂的微结构。在相空间的每一有限区域中，都存在指数发散轨道。李雅普诺夫指数的定义包含相邻轨道的比较。引人注目的是，不可逆性已出现在仅包含几个自由度的简单情况之中。它当然是对基于近似之上的不可逆性的拟人解释的一个打击，这些近似是我们自己假定引入的。这一解释在玻尔兹曼失败后得到表述，不幸的是今天仍然被广为传播。
诚然，若以无穷精度已知初始条件，则仍然存在轨道描述。但是这不对应于任何现实情况。无论何时我们完成实验，通过计算机也好，通过某些其他手段也罢，我们所处理情况的初始条件都只能以有限精度给出，且对混沌系统而言，导致时间对称性破缺。同理，我们也可以设想无穷速度，从而不再需要建立于最大速度（即真空中的光速c）存在之上的相对论。但是，速度大于c的此种假设不对应于任何已知的可观测实在。
映射是不能抓住时间之真正连续性的理想化模型。我们现在要把注意力转向较为现实的情况，转向对我们来说将具有特殊重要性的不可积庞加莱系统。在那里，个体描述（轨道或波函数）与统计描述之间的破裂更加惊人。对于这些系统，拉普拉斯妖无能为力，不管它对现在的了解是有限的还是无穷的。未来不再是给定的未来，用法国诗人瓦莱里（PaulValery）的说法，它变成了“构造”。
《确定性的终结》
伊利亚·普利高津著 湛敏译
第五章 超越牛顿定律
I
我们在第四章分析了表示简化模型的映射，现在提出我们探讨的核心问题：不稳定性和持续相互作用在经典力学和量子力学框架下起什么作用？经典力学是我们确定性的、时间可逆的自然描述之信念赖以建立的学科。要回答这一问题，我们首先必须与牛顿定律交手，与那些300年来支配理论物理学的方程交手。
在处理原子和基本粒子时，经典力学没有量子力学有效。相对论表明，经典力学在处理高能物理或宇宙学问题时也必须得到修正。无论如何，我们要么引入个体描述（用轨道、波函数或场来表示），要么引入统计描述。值得注意的是，在所有层次上，不稳定性和不可积性都打破了这两种描述间的等价性。因此，我们必须依据我们置身其中的开放的、演化的宇宙来修正物理学定律的表述。
如上所述，我们认为，经典力学是不完备的，因为它未包括与熵增加相联系的不可逆过程。为了在其表述中包括这些过程，我们必须包含不稳定性和不可积性。可积系统是例外。从三体问题开始，大部分动力学系统都是不可积的。对于可积系统，建立在牛顿定律基础上的轨道描述与建立在系综基础上的统计描述这两种描述方式是等价的。对于不可积系统，就并非如此。甚至在经典动力学中，我们都不得不使用吉布斯统计方法（见第一章第III节）。我们在第三章第I节看到，正是这一方法导出平衡热力学的动力学诠释。所以十分自然，我们还不得不采用统计描述，以包含驱使系统趋向平衡的不可逆过程。这样一来，我们可以把不可逆性吸收到动力学之中。结果，在统计描述的层次上出现了自洽地纳入动力学的非牛顿贡献。而且，这些新贡献使时间对称性破缺。因此，我们用得到的动力学概率表述可以解决时间可逆动力学与有时间方向的热力学观点之间的冲突。
我们深知，这一步代表了与过去的决然背离。轨道总是被视为本原的、基本的交易工具。现在这种观点已不再正确。借用量子力学的术语（参见第VII节），我们将遇到轨道“坍缩”的情况。
事后看来，我们不得不放弃了轨道描述并不令人感到惊奇。我们在第一章看到，不可积性由共振所致，共振表达了频率必须满足的条件。共振不是发生在空间中的给定点和时间上的给定时刻的局域事件。它们如此这般引入了对于局域轨道描述完全是外来的某些元素。然而，我们需要一种统计描述，以便在我们预期不可逆过程和熵增加的情况下来表述动力学。此种情况毕竟是我们周围世界所见到的情况。
正如怀特海、柏格森和波普尔所设想的那样，非决定论现在出现于物理学中了。这不再是某种先验形而上学选择的结果，而是不稳定动力学系统所需的统计描述。过去几十年里，许多科学家提出了量子理论的重新表述或者扩展。但是，完全意想不到的是，我们现在有必要对经典力学加以扩展。甚至更加意想不到的是，经典力学的这种修正可以引导我们扩展量子理论。
II
我们在着手修正牛顿定律之前，先概括一下经典力学的基本概念。考虑质量为m的质点运动。随着时间的推移，它的轨道通过其位置r（t）、速度v＝dr／dt以及加速度a=d2r/dt2进行描述。牛顿基本方程通过表达式F＝ma把加速度a与力F联系起来。这个表达式包含经典惯性原理，即若没有力，则没有加速度，速度保持不变。当我们从一个观察者走向相对于第一个观察者作匀速直线运动的另一个观察者时，牛顿方程保持不变。这被称为伽利略不变性，在第八章我们将看到，它已被相对论深刻改变了。这里，我们只处理非相对论性牛顿物理学。
我们看到，时间仅通过一个二阶导数进入牛顿方程。也就是说，牛顿时间是可逆的，未来和过去被认为起相同作用。而且，牛顿定律是确定性的。
现在考虑更一般的情形，由N个粒子组成的系统。在3维空间里，我们有3N个坐标q1，…，q3N和3N个相应的速度v1；…，V3n。在现代动力学表述中，我们通常把坐标和速度（或者动量p1，…，p3n，在简单情况下p=mv）均视为自变量。第一章提到，动力学系统的态与相空间中的点相联系，它的运动与相空间中的轨道相联系。经典动力学中最重要的量是哈密顿量H，它定义为用变量q和p所表示的系统的能量。一般来说，H是动能Ekin（p）和势能v（q）之和（q或q代表所有自变量的集合）。
一旦我们得到了哈密顿量H（p，q），就能够推导出运动方程，它确定坐标和动量随时间推移的演化。这一步骤对力学专业的所有大学生都熟悉。从哈密顿量导出的运动方程称为正则运动方程。牛顿方程是二阶的，即包含二阶时间导数；哈密顿方程与牛顿方程不同，它们是一阶的。对于单个自由粒子，H＝p2/2m，动量p随时间不变，坐标随时间呈线性变化，q=q0＝q0＋pt/m。依照定义，对于可积系统，哈密顿量只可用动量来表达（如果有必要，可适当改换变量）。庞加莱研究了形如H＝H0（p）＋λV（q）的哈密顿量，即可积部分（“自由哈密顿量”H0）与相互作用所致的势能之和（又是后面要用到的标度无关因子）。他证明，这类哈密顿量通常不是可积的，这意味着我们不能消除相互作用和回到独立单位。我们在第一章提到，不可积性由与廉加莱共振相联系的发散分母所致。作为廉加莱共振的结果，我们不能解出运动方程（至少不能用耦合常数人的幂级数形式表示）。
在下文里，我们感兴趣的主要是不可积的大庞加莱系统（简称LPS。我们已经看到，庞加莱共振与对应于各种运动模式的频率相联系。频率ωk依赖于波长k。（用光作例子，紫外光与红外光相比有较高的频率。和较短的波长k。）我们考虑频率随波长连续变化的不可积系统时，满足LPS的定义。系统所占据的体积足够大，大到表面效应可以忽略的程度，即满足这个条件。这就是为什么我们把这些系统叫做大庞加莱系统的原因。
LPS的一个简单例子，是一个频率为ω1的振子与一个给定场耦合之间的相互作用。在我们这个收音机和电视机的世纪里，我们都听说过电磁波这个词。电磁波的幅度由场确定，场由位置和时间的函数φ（x，t）描述。如本世纪初所确立的，场可以认为是频率为ωk的振荡的叠加，其波长k从系统本身的大小改变到基本粒子的尺度。在我们所考虑的振子…场相互作用中，每当场的频率ωk等于振子频率ω1时，就会发生共振。只要ω1＝ωk，在我们求解振子与场相互作用的运动方程时，就会遇到庞加莱共振1/（ω1…ωk），它对应于发散。也就是说，当分母为零时，这些项趋于无穷大，而变得无意义。我们将看到，我们可以在我们的统计描述中消除这些发散。
庞加莱共振导出一种混沌形式。事实上，大量计算机模拟表明，庞加莱共振导致随机轨道的出现，犹如确定性混沌的情形。在这种意义上，在确定性混沌与庞加莱不可积性之间存在着惊人相似之处。
III
像前几章所做的那样，我们将考察概率分布ρ（q，p，t），它的时间演化很容易从正则运动方程推导出来。我们现在所处状况与对混沌映射相同，即用与佩龙…弗罗贝尼乌斯算符相联系的统计描述，代替运动方程。在经典力学中，我们还遇到称为刘维尔算符的演化算符，它通过方程确定ρ的演化。ρ的时间变化通过算符L作用于ρ上而获得。若分布函数是时间无关的，则Lρ＝0．这对应，热力学平衡。这样，如在第三章第I节中所看到的，ρ仅依赖于能量（或哈密顿量），它是一个运动不变量。
像在第四章对混沌系统所作的解释那样，在统计层次求解动力学问题需要确定L的谱分解。因此，我们必须确定L的本征函数和本征值。我们看到，谱分解依赖于我们在希尔伯特空间里用过（且对可积系统仍然适用）的“正经”函数空间。按照基础教科书中一个很重要的定理，算符L在希尔伯特空间里有实本征值ln，时间演化证明是振荡项的叠加。实际上，刘维尔方程的形式解是ρ（t）＝exp（－itL）ρ（0），振荡项exp（－itln）＝costln－isintln与本征值ln相联系，未来和过去在其中起着相同的作用。为包括不可逆性，我们需要像ln=ωn…iγn这样的复本征值。于是，这将产生对时间演化的指数 衰减， 它在未来（ t＞ 0）减小，而在过去（t＜ 0＝增加，从而时间对称性被打破。
但是，获得复本征值只有在我们离开希尔伯特空间才是可能的。现在，我们的主要目标是理解我们必须这么做的物理原因。这来自自然界中存在持续相互作用这个无可逃避的事实。我们考虑我们置身于其中的这个房间时，大气中的分子在不断地碰撞，这与诸如真空中有限数目的分子的瞬时相互作用完全不同。从而，大气中的分子在有限长的时间里相互作用，最终会逸入无穷。持续相互作用与瞬时相互作用之间的区别在从经典动力学向热力学的迁变中有至关重要的意义。经典动力学抽取一定数目的粒子，孤立地考察它们的运动，在相互作用永不停止时产生不可逆性。概言之，动力学在我们孤立地考察有限数目分子这个意义上对应于还原论观点。不可逆性则产