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可及。
我并不是要把这些建议变成规定，我只是建议当第一张表格被填满的时候，对也好，错也好，你把这张表取下来，换上一张新的。这次孩子会填得快得多。许多乘积变得比第一次做的时候容易了。如果第一次做错了，其中的一些错误会被孩子留意并纠正过来。即使错误再次出现了，也不用担心，孩子或早或晚会发现并纠正过来的。
这里介绍一些填格子游戏的变种。（1）当孩子们能够在5分钟之内填出全部格子时，让他们用表计时，确定出自己所用的时间。下一次，看能否做得再快一点——孩子们都喜欢打破自己的“记录”。（2）在给定时间之内，比如1～2分钟，孩子可以填出多少个乘积。孩子会躲开较难的乘积，用对他们来说已经很容易计算的乘积竞赛，并把大部分时间花在思索那些曾经困难现在开始变容易的乘积上。这次孩子会用几秒钟去算5×6=30。过几天他就会了，这个乘积也变成容易的了。之后他便会转向下一个半难的乘积，再把它变得容易，直到有一天所有的都变容易了。（3）把表格从后向前填，也就是说，从右下角开始向上和向左逐列逐排填。这么做的时候，孩子们会发现以前没有注意到的新的规律，比如做数字9这一列的时候，每往上挪一个格，得数的个位数就增加1，等等。（4）做一个排和列的数字随机排列的表格，看填完需要多少时间。（这会比较难。）
即使是上面提到的练习和方法，或许也并不是必须的。让孩子们认识乘法表的最好办法是让他们发现数字间的关系，以及所产生的规律。这样，会乘以2、乘以3的孩子便会算出表上的几乎所有乘积。为什么要浪费时间去记忆你知道自己可以很快算出来的东西呢？不管怎么样，孩子们自己反复算了好几次算出来的某个乘积，下一次再遇到的时候便有可能会想起来。
不过，就像我提到过的，许多人发现乘法表学起来其实很简便。几年前我在教数学的时候曾经尝试过不同的方法，想把学这个乘法表的过程变得引人入胜一些。当学习变成让人兴奋和激动的事情时，孩子们能学得更好。以下是我当时写下的笔记。
算术练习的缺点在于它们要么让孩子觉得闷，要么让孩子觉得害怕。结果是孩子们要么什么也学不进去，要么学过后也很快就忘了。
我曾经教过几个三年级的学生，他们对于数字一向表现得很聪颖，但就是掌握不好乘法表，这让校方急得不行。有一天我突然想到，在记电话号码时我们更多地是通过听觉而不是视觉记忆的，因此传统的口头重复念诵的办法或许能对孩子记忆乘法表有用，只要我把它们念得更琅琅上口一些。而且这个小点子可能会让孩子们顾不上焦虑，而把全部注意力集中在记忆上。
过了一阵子，我又找到了一个行之有效的办法。我在黑板上写从6～9的这几个数字的所有乘积，如下所示：
6 7 8 9
636424854
742495663
848566472
954637281
孩子们用这个表格练习了一气，弄明白6这一排和7这一列相交的地方应该填上6和7的乘积。我之所以用从6～9的乘积是因为这部分的乘法表是孩子们认为“最难”因而老也记不住的部分。
我已经把乘积填入了，像上表显示的那样。我两只手各执了一只教鞭。我向孩子们解释说，如果我用一只教鞭指着左栏中的7，另一只指着右上方的9，他们就要说“七九六十三”，其他的也如此进行下去。我们开始了。当我挪动教鞭的时候，通过他们回答时语调的迟缓可以感觉到他们在表上搜索着乘积。但逐渐地他们变得自信起来，开始回答得越来越快，也不用费劲地找乘积了，也许他们已经知道上哪儿找了。
这时我突然有了一个主意，我把上述游戏做了个小改动以使其更好玩。我把一个乘积擦去。所有的孩子都欢呼起来。我马上问他们这个乘积是什么，之后就频繁地回来复习，这样它便牢牢地印在了孩子们的脑海里。孩子们发现他们居然不看着这个乘积也能回答出，真是惊喜交加。他们到底是怎么记住的，是通过记忆自己念乘积时的声音，还是通过它们在黑板上的样子，我不得而知，也不想问。或许不问最好。如果他们不得不去思索是“怎么”记住的，这可能会让他们的记忆从潜意识中被剥离，记忆活动便随之停止了。
慢慢地，我擦掉了越来越多的乘积，先是数字6那一排，然后是其他的。随着空白越来越多，孩子们变得越来越兴奋，因为他们惊奇地发现，他们真的可以不看着答案也能回答得出，他们的确已经记住了。
有时候，没有一个孩子能记得起来某个空格里的乘积。这时我什么也不说，只是把乘积填回去。孩子们更兴奋了，大叫着“我就知道是它”。直到表格里只剩下2～3个乘积时，孩子们开始把这个练习变成一个比赛，看谁能在卡壳之前把所有的乘积都擦掉。有时我问到一个谁也不知道的乘积，拿粉笔假装要往黑板上写，但是我的手还没碰到黑板，孩子们中就有人喊出了正确答案，于是所有孩子都赶紧冲我喊着说：“你不能写，你不能写！” 我表示同意，因为这的确公平合理。很快地，所有的格子都空了，孩子们终于赢得了这场胜利。
我当时的笔记到此为止，我猜想那大概是因为乘法表已经不再是让大家头疼的问题了。如果有谁觉得这个乘法表游戏效果不错，可以再增加其数字项，比如11和12，甚至更多。
第二章 在家里学数学大数字相乘
我们做多位数乘法时，比如24×57，或是132×853，可以把大数字分解成简单的小数字。比如8可以分解为3和5，2×8就等于2×3加上2×5。可以写成这样的等式：
2×8=（2×3）＋（2×5）
不过不少人会搞不懂为什么是这样。或许他们还会看到下列这个算式：
3×14=（3×10）＋（3×4）
=30＋12
=42
但他们还是无法相信这个算法适用于所有数字。
一些算术课本在回答“为什么上述等式成立”这个问题时，会解释说“乘法可以分配成加法来计算”。对大多数人来说，这个说法并没有让他们明白多少。本来这也不是什么解释，只是把事实换了种方法说出来而已。
让我们换种方式想，上面的算式只是自然事实的一种体现，并不需要什么解释，这样或许倒容易理解一些。“为什么会这样？”这种问法还不如直接问为什么7可以分解为3和4。之所以这样是因为本来就是这样。这个事实后面并没有隐藏着什么更深奥的道理。
好了，现在回到刚刚说过的乘法算式，我们看到了一个已经成立的，也必将永远成立的事实。可以这样想，如果我们按照食谱构成把一份菜肴分量加倍，就意味着要把食谱中要求的任一成分的分量加倍。如果食谱要求两个鸡蛋，我们把它加倍，就变成四个鸡蛋。如果食谱上是一杯面粉，我们想加倍，就要把它变成两杯面粉。即使是害怕数字和算术的人也能明白并确信这个道理。
那么我们也能明白，如果7可以变成3和4，那么两个7就变成两组3和4：
＊＊＊＊＊＊＊
＊＊＊＊＊＊＊
如果是三个7，就变成三组3和4：
＊＊＊＊＊＊＊
＊＊＊＊＊＊＊
＊＊＊＊＊＊＊
以此类推。
乘法在此处用起来就很方便，否则，如果我们想用67乘以8，就不得不写下8遍67，再把它们相加。但是用乘法，我们就可以将67分解为60和7，然后用60×8加上7×8，即480＋56，就得出536。我们可以写成下面这个算式：
67×8=（60×8）＋（7×8）
=480＋56
=536
这里提到的只是运算技巧的一两个简单的步骤，或者只是数学家所说的多位数乘法的“运算规则”。随便什么算术课本上都有，我就不在此展开讲了。
不过我不会急于让孩子们学会这种学校所推崇的简便算法，他们本来已经理解了多位数相乘的原始计算步骤。而且，这种简便算法也没有真的简便多少，充其量是少写几个零而已。如果过早地教孩子们这种简便算法，会把他们搞糊涂，这是得不偿失的。
所以，如果我们需要计算562×74，我们当然可以把74分解为70和4，然后分别计算562×70和562×4，再把结果相加。如果孩子们自己对简便算法感兴趣，那很好，但这并不意味着我们必须要像学校那样，花上几个星期甚至几个月去反复训练他们，就为了熟练掌握这种少不了几步的、生活中很少会用到的简便算法。
第二章 在家里学数学分数
当我教五年级的时候，在开始“教”孩子分数概念，甚至是在提到这个词之前，我会问他们这样的问题：“如果你有3块糖，想均匀地分给5个人，你怎么分呢？” 他们大多会想出一种或两种办法。但是当他们“学会”了分数的概念，并想着用分数去解决这种问题时，他们倒往往做不出来了。他们用现实、自己的常识和聪明能想出办法，但如今知道了“规则”的他们，却无法解决问题，不知道怎么应用这个规则。
在《我星期一做什么》这本书里，我试图解释这种现象：
事情往往是这样的，我们的解释会把事情弄得更错综复杂。我们大多数人在“解释”加上的时候，会说先把它们变成六分之几然后相加，“因为你不能用苹果和橘子相加”等等……这种说法既不合情理也很荒谬。苹果当然能和橘子相加。每一两个礼拜我去超市，我会先把一塑料袋苹果放进推车，然后到货架另一边抓一袋橘子扔进车里。我这不正在把苹果和橘子相加吗？同样道理，农夫先把一群牛赶进牲口棚，稍后可能又赶进来一群马，牛和马也被加在一起了。或者汽车商先开进来6辆福特，然后是5辆雪佛兰，福特和雪佛兰也加在了一起。
问题出在我们并没有说清楚我们本来的意思，因为我们事先并没想清楚自己到底想说什么。我们究竟想说明什么呢？
出人意料的是，很多孩子都知道这个问题，或者其实很容易弄明白这个问题。我曾经问一些6岁的孩子：“如果我把3匹马赶进牧场，然后又放进来3头牛，牧场上现在有什么？”孩子们想了一想，有的就会回答：“5个动物。”
当我们做出那个关于苹果橘子不能相加的让人费解的论断时，本意并非要说“相加”，而是结果的表达方式。我们可以把任何两样东西相加。真正的问题是，我们怎么表达这个结果。这是我们本来意思的第一个部分。第二个部分是，我们想找到一个数字，也就是分子，它能够描述苹果和橘子，或是马和牛，或是雪佛兰和福特，相加后得到的集合，这样的话我们就得给这个集合找“同一个名字”，也就是分母，这个名字适用于这个集合里的所有个体。这个名字是一个类别，于是我们得想出来一个其中的所有个体都具有的共性。就这么简单。这就是当我把3匹马和2头牛相加时，小孩子所说的“5个动物”。如果我想对我的篮子里所有的苹果和橘子使用一个分子，我得先想出来一个这两种东西都属于的类别，一个共同的名字，一个公分母。这就是水果。如果是汽车商，停车场里有几辆福特和雪佛兰，他要是想说那里有什么，他会说“我有5辆雪佛兰和6辆福特”。但如果他只想用一个数字表示，就得想出一个共同的名字，就必须有一个公分母。他可以说他有11辆汽车。如果他卖的是农业机械，停车场里不光是汽车，还有拖拉机、推土机诸如此类的东西，他可能会说：“我有这些机械车辆。”
现在学校里讲到分数时所用的例子只是一个特例。如果我把个馅饼放在盘子里，再放上的同一个馅饼（或者是另一个同样大小的馅饼的），我会说盘子里有什么呢？我可以说我有个和个馅饼。我还可以说我有2“块”馅饼。在这个例子里，“块”是个很棒的公分母。但它当然没能说明白我的盘子里有多少馅饼，是大块还是小块。所以我还得做两件事。首先，给我的这几块馅饼找到共同的名字，即公分母，告诉我整个馅饼有多大。然后，我的两块馅饼使用同样的名字，即公分母。我可以这么说，大块的馅饼是块馅饼，小块的是块馅饼。这样就很容易看出来当把这么两块馅饼相加时，得到的就是块馅饼。
谈了这么半天馅饼的例子，我现在要说的是，使用馅饼或圆形图来给孩子们介绍分数的概念是不当的。最简单的原因是，孩子没办法检查或测量（除非他使用角度的概念）他用分数相加出来的结果是对是错。给他一个6英寸长的纸条，一把尺子，让他测量这个纸条的一半是多长，再加上同一纸条的，总共是多长。孩子会很容易地发现答案，即5英寸。他可以清楚地看见他的结果。而用圆形图的话他就不那么明白或者根本没办法看明白了。记得有一回我精心地画了一张格子纸，长9个格子，宽3个格子，然后要一个五年级学生找出它的。在这张纸上，这个孩子画了个他熟悉的圆形图，然后得意地看着我。当然我只好试图给他解释圆形图只适用于馅饼或圆形物。这显然对他来说又是一个大人讲的那种没用的、让人莫名其妙的东西。他的所有其他老师在讲到分数时，总是画圆形图，所以在他看来，圆形图就是分数的表示法。当然，我那次终于说服了他，跟我学的时候就要用我看中的其他的法子、其他的体系。但他心目中关于分数的真正形象并没有改变。
最后我要强调的是，我们应该给孩子们灌输所有这些牛、水果、动物、汽车的概念，这样他们就能彻底明白如何将不同的东西相加了。我的确认为，如果我们知道自己在把这些不同的分数相加的时候到底在干什么，而不是像许许多多的数学老师那样并不清楚在做什么，并且不说那些让人莫名其妙的废话，那么我们就有大把机会知道该怎么做、怎么说，该使用什么样的教材，该布置什么样的作业让孩子们完成，这样，我们就能够使孩子们懂得分数的概念。
第二章 在家里学数学“无限”是什么
一个母亲曾给我写过一封很好的信，信中描述了她6岁的儿子关于数字的思考和问题。他的一个问题是：“紧挨着无限的是什么数？”我想了想这个有趣的问题，回答说，“无限”之前没有数字。孩子们觉得“无限”本身好像是一个数字，但事实不是这样。“无限的”这个词的意思是“无尽头的”或“无穷的”。你无法抵达一个尽头或边缘，因为根本就没有这样一个东西存在。不管你走多远，总可以继续走下去。对一个6岁的孩子，甚至是成年人来说，这或许并不是一个容易的概念。
家长或是数学家们会说，整数的集合中（比如1、2、3、4、5等）没有最大数。不管你想出来多大的一个数字，你总能再加上某个数字，或乘以某个数字。数学家并不管这样的整数集合叫做“无限的”而是“超限数” 。
在卡斯特纳和纽曼合著的一本很出色的叫做《数学与想像》的书中，有一章论及“超限数”，写得很好，可惜这本书已经绝版了。我们了解到，一个超限类，比如偶数集合，是与另一个集合，即全体整数的集合一样大的。这听上去有些丧失理智，因为整数中还有一半是奇数。我们说当一个集合的数字和另一个集合的数字一样多时，就意味着第一个集合里的每一个数都能在第二个集合里找到一个而且是惟一的一个数和它对应。每一只右脚的鞋都可以找到一只也是惟一的一只左脚的鞋和它相配，那就是说有多少只右脚的鞋，就有多少只左脚的鞋，即使我们并不知道具体的数目是多少。整数集合里的每个数字1、2、3……我们都可以用这个数乘以2，得到惟一的一个和它对应的偶数。1对应2，2对应4，3对应6，4对应8，5对应10，等等，可以一直做下去。所以我们可以说这两个集合数目相等。
这里有一个绝妙的证明，数学家称之为“优雅”（elegant）（的确如此），就是说分数集合中的分数数目和整数集合的数目相等。这真是令人难以相信，因为在任意两个整数之间你可以放置无穷多的分数。另一个优雅的证明是，小数集合中的数目大于整数集合。
数学家们对此做了大量的研究工作。格奥尔格·康托发现某些超限数比其他的数字大。的确，我认为他找到了四五个不同的超限数，每一个都大于前面的一个。整数集合最小，小数集合次小，最大的是整个的函数集合。
这些对一个6岁的小孩（或任何人）来说是很难掌握的。如果孩子问到无限时，你可以向他稍作解释并试试他的反应。如果他把头转开去看别的东西，那就是够了。无论如何，谈到这个概念时我们要说“无限的”，而不是“无限”。数学中的无限没有特定的数字，有的只是形容词“无限的”，意思是我前面讲过的，没有尽头或边际。
第二章 在家里学数学秘密的数学游戏
我的头四年学生生活是在一个很传统的学校度过的。它用纯粹背诵的办法教数学，把我们当成鹦鹉，或是会说话的实验室动物。我不记得有哪个老师曾经和我们探讨过数学的概念，或教我们玩数学游戏。他们的工作内容就是教给我们“算式”，向我们演示怎么解题目，然后布置作业、判作业，并让我们做练习、考试。
但正像我们小孩有自己秘密的游戏世界一样，我们也有秘密的数学世界。学校里流行着很多的数学戏法和游戏，这当然是不被老师所鼓励的，甚至都不能让他们发觉。我们经常在班上或是在自修室里面躲在课本后面玩这些游戏。
其中一个游戏叫做“猜数”。学生甲找到学生乙，最好还有学生丙、丁、戊在旁边，下面的谈话开始了：
甲：你现在想好一个数字，别告诉我，但你自己把它记好。
乙：好，我想好了。
甲�