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所有已知三段论系统的断定命题或者是初等表达式或者
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８５１第五章 判定问题
能够容易地被变形为初等表达式。
换位定律，如ＣＩａｂＩｂａ或ＣＡａｂＩｂａ，都是初等表达式。
所有三段论都是ＣＫαβγ形式，而这类表达式都是演绎地等值于ＣαＣβγ形式的初等表达式（对于输出和输入定律而言）。
但是还有三段论系统的其它有意义的表达式，有些是真的，有些是假的，却并不是初等表达式。
我们已经碰到过这样一个表达式，即是断定命题７８，ＣＣCＮＡａｂＡｂａＩａｂ，它的前件不是一个简单表达式，而是一个蕴涵式。
当然，有无穷的这样的表达式，并且它们全都应当在判定的证明中加以考虑。
定理（ＴＡ）在演绎理论的一个类似的定理（ＴＢ）的基础上能够容易地被证明：（ＴＢ）每一个以Ｃ和Ｎ为原始词项的演绎理论的有意义的表达式，都能够用一个演绎地等值的方法（对于有穷数的断定命题而言）化归为一组
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC形式的初等表达式，其中所有α都是简单表达式，亦即或者是变项或者是它们的否定式。
这个定理的证明是不容易的，但是，由于它对于判定问题来说乃是精华所在，所以不能加以省略。
下面所作的（ＴＢ）
的证明是为对形式逻辑有兴趣的读者提出的；没有受过数理逻辑训练的读者可以把（ＴＡ）
，（ＴＢ）
两条定理当作是认可的东西。
令α是演绎理论的任意的一个有意义的表达式，并且它不同于变项（它可以，但是并不需要，加以变形）
：如我们所知，每一个这样的表达式，都能够用演绎地等值的方法，对
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３２。化归为初等表达式A ９５１
于断定命题Ｓ１与Ｓ２而言：Ｓ１。
ＣｐＣＮｐｑＳ２。
ＣＮｐ变形为表达式ＣＮαπ，其中π是一个不在α中出现的变项。
因此，我们有变形Ⅰ：Ⅰ。
α～ＣＮαπ对于Ｓ１与Ｓ２而言。
变形Ⅰ允许我们把所有有意义的表达式化归为蕴涵式（有一个变项作为它们的最后的词项）。
现在我们必须试着将ＣＮαπ的前件Ｎα变为一个变项或它的否定。
为此目的，我使用以下三项变形：Ⅱ。
ＣＮαβ～Ｃαβ对于Ｓ３与Ｓ４而言Ⅲ。
ＣＮＣαβγ～ＣαＣＮβγ对于Ｓ５与Ｓ６而言Ⅳ。
Ｃαβγ～ＣＮαγ，Ｃβγ对于Ｓ７，Ｓ８，Ｓ９而言相关的断定命题是：对于变形Ⅱ：Ｓ３。
ＣＮｐｑＣｐｑＳ４。
ＣｐｑＣＮｐｑ；对于变形Ⅲ：Ｓ５。
ＣＮＣｐｑｒＣｐＣＮｑｒＳ６。
ＣｐＣＮｑｒＣＮＣｐｑｒ；对于变形Ⅳ：Ｓ７。
ＣｐｑｒＣＮｐｒＳ８。
ＣｐｑｒＣｑｒＳ９。
ＣＮｐｒＣｑｒＣｐｑｒ。
现在让我们解释用这些变形我们怎样能够从ＣＮαπ的前件中得到一个变项或它的否定式。
在ＣＮαπ中出现的表达式
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０６１第五章 判定问题
α，像Ｃ—Ｎ系统的每一个有意义的表达式一样可以或者是一个变项，或者是一个否定式，或者是一个蕴涵式。
如果α是一个变项，就不需要任何变形；如果它是一个否定式，我们得到ＣＮαβ，而根据变形Ⅱ，两个否定互相抵消；如果它是一个蕴涵式，我们从ＣＮＣαβγ得到等值的表达式ＣαＣＮβγ，它的前件α比原来的前件ＮＣαβ简单，这个新的α又可以是一个变项（因而也勿需变形）
，或是一个否定式（这个情况已经解决过了）
，或是一个蕴涵式。
在最后这个情况中，我们从ＣＣαβγ得到两个表达式ＣＮαγ和Ｃβγ，它们有着比原前件Ｃαβ简单一些的前件。
Ⅱ，Ⅲ和Ⅳ的重复地应用，我们必定最后地在一个前件中达到一个变项或它的否定式。
现在让我们用例子来看一看这些变形是如何工作的。
第一个例子：ＮＣｐＮＣｐ～ＣＮＣｐｑ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑ～ＣＮＣｐｑ由Ⅱ；ＣＮＣｐｑ～ＣｐＣＮｐｑ由Ⅲ。
ＮＣｐ就这样化归为表达式ＣｐＣＮｐｑ，它在前件中有变项ｐ。
ＣｐＣＮｐｑ是一个初等表达式。
第二个例子：ＣｐｑｐＣｐｑｐ～ＣＮＣｐｑｐｒ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑｐｒ～ＣｐｑｐＣＮｐｒ由Ⅲ；ＣｐｑｐＣＮｐｒ～ＣＮＣｐｑＣＮｐｒ，ＣｐＣＮｐｒ由ⅣＣＮＣｐｑＣＮｐｒ～ＣｐＣＮｑＣＮｐｒ由Ⅲ。
Ｃｐｑｐｐ就这样化归为两个表达式：ＣｐＣＮｑＣＮｐｒ与ＣｐＣＮCｐｒ，两者在前件中都有变项ｐ；两者都是初等表达式。
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３２。化归为初等表达式A １６１
第三个例子：ＣｐｑｐＣｐｑｐＣｐｑｐＣｑｐ～ＣＮＣｐｑＣｑｐｒ由Ⅰ；ＣＮＣｐｑＣｑｐｒ～ＣｐｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅲ；ＣｐｑＣＮＣｑｐｒ～ＣＮＣｐｑＣＮＣｑｐｒ，ＣｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅳ；ＣＮＣｐｑＣＮＣｑｐｒ～ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ由Ⅲ。
ＣｐｑＣｑｐｐ化归为两个表达式ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ以及ＣｑＣＮＣｑｐｒ，两者都在第一个前件中有一个变项。
但是两者都不是初等表达式，因为第一个有着复杂的表达式ＮＣｑｐ作为它的第三个前件，而第二个有着同样的复杂的表达式作为它的第二个前件。
我们能从最后的例子中看到，我们的任务还没有完成。
用变形Ⅰ—Ⅳ我们能得到在第一个前件中有一个变项的蕴涵式，以及还有
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC形式的表达式，但并非这个形式的所有前件（除α１之外）都必定是简单表达式。
为了解除这样的复杂前件，我们需要三个进一步的变形：Ⅴ。
ＣαＣβγ～ＣβＣαγ对于Ｓ１０而言Ⅵ。
ＣαＣβＣγδ～ＣαＣγＣβδ对于Ｓ１而言Ⅶ。
ＣαＣβγ～ＣＮＣαＮβγ对于Ｓ１２与Ｓ１３而言相应的断定命题是：对变形Ⅴ：Ｓ１０。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ；对变形Ⅵ：Ｓ１。
ＣｐＣｑＣｒｓＣｐＣｒＣｑｓ；
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２６１第五章 判定问题
对变形Ⅶ：Ｓ１２。
ＣｐＣｑｒＣＮＣｐＮｑｒ。
Ｓ１３。
ＣＮＣｐＮｑｒＣｐＣｑｒ。
用Ｓ１０我们能把复杂的前件从第二个位置移到第一个位置，而用Ｓ１能从第三个位置移到第二个位置。
应用这些变形于第三个例子的表达式ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ与ＣｑＣＮＣｑｐｒ我们得到：（α）ＣｐＣＮｑＣＮＣｑｐｒ～ＣｐＣＮＣｑｐＣＮｑｒ由Ⅵ；ＣｐＣＮＣｑｐＣＮｑｒ～ＣＮＣｑｐＣｐＣＮｑｒ由Ⅴ；ＣＮＣｑｐＣｐＣＮｑｒ～ＣｑｐＣＮｐＣｐＣＮｑｒ由Ⅲ；ＣｑｐＣＮｐＣｑＣＮｑｒ～ＣＮｑＣＮｐＣｐＣＮｑｒ，ＣｐＣＮｐＣｐＣＮｑｒ由Ⅳ。
（β）ＣｑＣＮＣｑｐｒ～ＣＮＣｑｐＣｑｒ由Ⅴ；ＣＮＣｑｐＣｑｒ～ＣｑｐＣＮｐＣｑｒ由Ⅲ；ＣｑｐＣＮｐＣｑｒ～ＣＮｑＣＮｐＣｑｒ，ＣｐＣＮｐＣｑｒ由Ⅳ。
这样ＣＣｐｑＣｑｐｐ化归为四个初等表达式：ＣＮｑＣＮｐＣｐＣCＮｑｒ，ＣｐＣＮｐＣｐＣＮｑｒ，ＣＮｑＣＮｐＣｑｒ与ＣｐＣＮｐＣｑｒ。
变形Ⅶ用于复杂前件出现在第四个位置或者更远的地方的所有那些情况。
这个变形允许我们减少前件的数目；事实上，ＮＣｐＮｑ与Ｋｐｑ的意思是一样的，并且Ｓ１２与Ｓ１３相应地都是输入定律与输出定律的另外的形式。
现在ＣＮＣαＮβγ，像ＣＫαβγ一样，只有一个前件，而其等值的表达式ＣαＣβγ有两个前件。
所以，如果一个复杂的表达式出现于第四个位置，如δ在ＣαＣβＣγＣδ∈中那样，我们相继应用Ⅶ和Ⅵ能够把它移至
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３２。化归为初等表达式A ３６１
第三个位置：
ＣαＣβＣγＣδ∈～ＣＮＣαＮＣγＣδ∈由Ⅶ；
ＣＮＣαＮβＣγＣδ∈～ＣＮＣαＮβＣδＣγ∈由Ⅵ。
从这个最后的表达式，我们由Ⅶ的逆向的应用（ｔｈｅ
ＣｏｎCｖｅｒｓｅ
ａｐｌｉｃａｔｉｏｎ）得到公式：
ＣＮＣαＮβＣδＣγ∈～ＣαＣβＣδＣγ∈由Ⅶ。
现在用Ⅵ和Ⅴ就易于将δ带到第一个位置：ＣαＣβＣδＣγ∈～ＣαＣδＣβＣγ∈由Ⅵ，ＣαＣβＣδＣγ∈～ＣαＣδＣβＣγ∈由Ⅴ。
重复地在两个方向应用变形Ⅶ我们能够把任何前件从第ｎ个位置移到第一个位置，如果它是复杂的，就用Ⅱ、Ⅲ与Ⅳ使之变形为一个简单表达式。
定理（ＴＢ）
的证明就这样完成了。
现在容易表明这个定理推出对于演绎理论Ｃ—Ｎ系统的判定的证明。
如果一个给定的表达式α已经被化归为若干初等表达式，而所有这些初等表达式都是真的，亦即，如果在它们的诸前件中有两个Ｐ与Ｎｐ型的表达式，那么α就是一个断定命题并必须加以断定。
另一方面，如果α已经化归成的初等表达式中，至少有一个表达式在其中没有两个前件是Ｐ与Ｎｐ型的，那么α必须被排斥。
在第一种情况下，我们能用断定命题Ｓ１—Ｓ１３来证明。
在第二种情况下，我们能够反驳它，除了用上面的断定命题外，还得加上两条新的：Ｓ１４。
ＣｐＣｐｑＳ１５。
ＮＣｐ，以及排斥的公理：
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４６１第五章 判定问题
PＳ１６。
Ｐ。
用两个例子来把这一点说清楚。
第一个例子：断定命题ＣｐＣｐｑｑ的证明。
这个断定命题必须首先化归为初等表达式。
这是由以下的分析（Ｌ）作出的：
ＣｐＣｐｑ～ＣＮＣｐＣｐｑｒ由Ⅰ；
ＣＮＣｐＣｐｑｒ～ＣｐＣＮＣｐｑｒ由Ⅲ；
ＣｐＣＮＣｐｑｒ～ＣＮＣｐｑＣｐｒ由Ⅴ；
ＣＮＣｐｑＣｐｒ～ＣｐｑＣＮｑＣｐｒ由Ⅲ；
ＣｐｑＣＮｑＣｐｒ～ＣＮｐＣＮｑＣｐｒ，ＣｑＣＮｑＣｐｒ由Ⅳ。
ＣｐＣｐｑｑ化归成的初等表达式是ＣＮｐＣＮｑＣｐｒ与ＣｑＣＮCｑＣｐｒ。
像所有曾应用过变形Ⅰ的表达式一样，这两个都有一个不在前件中出现的变项作为最后一个词项。
这样的表达式只有在它们有两个前件是Ｐ与Ｎｐ型的条件下，才能是真的，并且这类的任何表达式都能用变形Ⅴ，Ⅵ与Ⅶ化归为Ｓ１的一个代入式，一个断定命题的证明总必须由此开始。
这里就是所需要的推演：
Ｓ１。
ｑＣＮｑｒ×（１）
＇（１）ＣｐＣＮｐＣＮｑｒ
Ｓ１０。
ｑＮｐ，ｒＣＮｑｒ×Ｃ（１）—（２）
＇（２）ＣＮｐＣｐＣＮｑｒ
Ｓ１。
ｐＮｐ，ｑｐ，ｒＮｑ，ｓｒ×Ｃ（２）—（３）
＇（３）ＣＮｐＣＮｑＣｐｒ
Ｓ１。
ｐｑ，ｑＣｐｒ×（４）
＇（４）ＣｑＣＮｑＣｐｒ。
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３２。化归为初等表达式A ５６１
在（３）和（４）之中已得到了与我们的分析（Ｌ）之末达到的相同的初等表达式，现在我们用这些相继的变形所依靠的那些断定命题从它们进到其左方的等值式，这样，一步一步地，借助于Ｓ９，Ｓ６，Ｓ１０与Ｓ２，我们得到我们原来的断定命题：
Ｓ９。
ｒＣＮｑＣｐｒ×Ｃ（３）—Ｃ（４）—（５）
＇（５）ＣＣｐｑＣＮｑＣｐｒ
Ｓ６。
ｐＣｐｑ，ｒＣｐｒ×Ｃ（５）—（６）
＇（６）ＣＮＣｐｑＣｐｒ
Ｓ１０。
ｐＮＣｐｑ，ｑｐ×Ｃ（６）—（７）
＇（７）ＣｐＣＮＣｐｑｒ
Ｓ６。
ｑＣＣｐｑ×Ｃ（７）—（８）
＇（８）ＣＮＣｐＣｐｑｒ（８）
ｒＣｐＣｐｑ×（９）
＇（９）ＣＮＣｐＣｐｑＣｐＣｐｑ
Ｓ２。
ｐＣｐＣｐｑ×Ｃ（９）—（１０）
＇（１０）ＣｐＣｐｑ。
凭借这种方式，我们能够证明任何我们想要证明的断定命题。
第二个例子：表达式ＣＣＮｐｑｑ的反驳。
我们首先在以下分析的基础上把这个表达式化归为初等表达式：ＣＮｐｑ～ＣＮＣＮｐｑｒ由Ⅰ；ＣＮＣＮｐｑｒ～ＣＮｐｑＣＮｑｒ由Ⅲ；ＣＮｐｑＣＮｑｒ～ＣＮｐＣＮｑｒ，ＣｑＣＮｑｒ由Ⅳ；ＣＮｐＣＮｑｒ～ＣｐＣＮｑｒ由Ⅱ。
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６１第五章 判定问题
表达式ＣＣＮｐｑｑ就这样化归为两个初等表达式，ＣｑＣＮｑｒ与ＣｐＣＮｑｒ，其中第一个是一个断定命题，但第二个不是真的，因为它没有两个ｐ与Ｎｐ型的前件。
所以，导致这个不真的后果的表达式ＣＣＮｐｑｑ必须加以排斥。
我们根据给定的变形相继地应用断定命题Ｓ１，Ｓ５，Ｓ７与Ｓ３来从头开始这一反驳：
Ｓ１。
ｐＣＣＮｐｑ，ｑｒ×（１）
＇ ＇（１）ＣＣＮｐｑＣＮＣＮｐｑｒ
Ｓ５。
ｐＣＮｐｑ×（１２）
＇（１２）ＣＣＮＣＮｐｑｒＣＮｐｑＣＮｑｒ
Ｓ７。
ｐＮｐ，ｒＣＮｑｒ×（１３）
＇（１３）ＣＣＮｐｑＣＮｑｒＣＮｐＣＮｑｒ
Ｓ３。
ｑＣＮｑｒ×（１４）
＇（１４）ＣＣＮｐＣＮｑｒＣｐＣＮｑｒ。
现在我们必须反驳表达式ＣｐＣＮｑｒ；为此目的我们需要新的断定命题Ｓ１４与Ｓ１５以及排斥的公理。
Ｓ１４。
ｐＮＮＣｐ，ｑｐ×ＣＳ１５—（１５）
＇ ＇（１５）ＣＣＮＣｐ（１５）×Ｃ（１６）—Ｓ１６c（P１６）ＣＮＣｐ
Ｓ１４。
ｐＣｐＣＮｐｑ，ｑＣＮＣｐ×ＣＳ１—（１７）
＇（１７）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮＣｐＣＮＣｐ（１７）×Ｃ（P１８）—（P１６）
（P１８）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮＣｐ（P１８）×（P１９）ｐＣｐＣＮｐｑ，ｑＮＣｐ，ｒｐ＇（P１９）ＣｐＣＮｑｒ
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３２。化归为初等表达式A ７６１
排斥了ＣｐＣＮｑｒ，现在我们就能够相继地排斥它的各前件直到原来的表达式ＣＣＮｐｑ。
（１４）×Ｃ（P２０）—（１９）
（P２０）ＣＮｐＣＮｑｒ（１３）×Ｃ（P２１）—（P２０）
（P２１）ＣＣＮｐｑＣＮｑｒ（１２）×Ｃ（P２）—（P２１）
（P２）ＣＮＣＮｐｑｒ（１）×Ｃ（P２３）—（P２）
（P２３）ＣＣＮｐｑ用这种方式，你能够反驳Ｃ—Ｎ系统的任何不真的表达式。
所有这些推导本可作得更为简短一些，但是我企图表明包含在判定证明中的这个方法。
这个方法使我们能够在仅仅十五条基本的断定命题（Ｓ１—Ｓ１５）
及排斥公理的基础上有效地去判定，究竟一个给出的Ｃ—Ｎ系统的有意义的表达式是应当被断定还是应当被排斥。
因为演绎理论的所有其它函子都可以用Ｃ与Ｎ来定义，所以演绎理论的所有有意义的表达式都是在一个公理系统的基础上可被判定的。
能够列出十五条基本断定命题的一个公理系统，在这个意义上是完全的，即所有这个系统的真表达式都可以在其中推出。
属于这一类的有：在第２３节提出的三条公理的系统，以及作为变形Ⅳ的基础的那三条公理（即ＣＣｐｑｒＣＮｐｒ，ＣｐｑｒＣｑｒ以及ＣＣＮｐｒＣＣｑｒＣCＣｐｑｒ）的系统。
根据定理（ＴＡ）
，每一个有意义的亚里士多德逻辑的表达式，能够化归为初等表达式，这个定理的证明隐含地包括在
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８６１第五章 判定问题
对于演绎理论的类似定理的证明之中。
如果我们把用于变形Ⅰ—Ⅶ中之希腊字母（除了在变形Ⅰ中最后的那个变项之外）代之以亚里士多德逻辑的命题表达式，我们能够用同样的方式应用这些变形于它们，犹如用于演绎理论的表达式一样。
在ＣＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ的例子中，能够容易地看出这一点来。
我们得到：ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ～ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ由Ⅰ；ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅲ；ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ，
ＣＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅳ；ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ～ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ由Ⅱ。
我们通常能够写Ｏａｂ来代替ＮＡａｂ，以Ｅａｂ代替ＮＩａｂ。
然而，应用带Ｎ的形式在今后将是更为便利的。
ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ所化归成的ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ与ＣＡｂａCＣＮＩａｂｐ这两个初等表达式，都有一个变项作为它们的最后的词项。
这个变项是由变形Ⅰ引入的。