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因为，排斥似乎是比量化较为简单的概念，让我们随着亚里士多德的步骤来考察。
亚里士多德排斥绝大多数的不正确的三段论形式都是用具体词项来举例说明。
这是我们唯一不能追随他的地方，因为我们不能把像“人”或“动物”这样的具体词项引入逻辑中来。
有些形式必须公理地加以排斥。
我曾发现①如果我们公理地排斥第二格的以下两个式：ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，那么借助于两条排斥的规则也可以排斥所有其它不正确的三段论形式：（ｃ）排斥的分离规则：如果蕴涵式“如果α，则β”被断定了，但后件β被排斥，那么前件α必定也要被排
①见第２０节。
…… 149
２７。排斥的表达式的公理和规则A ７３１
斥。
（ｄ）
排斥的代入规则：如果β是α的一个代入，而且β被排斥了，那么α也必定要被排斥。
两条规则都是十分明显的。
三段论形式的数目一共是４×４３＝２５６；２４个形式是正确的三段论，２个形式是公理地排斥了的。
证明其余２３０个不正确的形式都可以用我们的公理和规则来排斥，那将是冗长而可厌的。
我将只用带有前提Ａｂｃ和Ｅａｂ的第一格三段论形式的例子来表明，我们的排斥规则如何在第一条排斥的公理的基础上进行证明。
排斥的表达式我用一个星号加在它们的序数之前来表示。
这样，我们有：
P５９。
ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ（公理）
P５９ａ。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ（公理）
Ｉ。
ｐＩａｃ，ｑＫＡｃｂＡａｂ×６０＇ ＇６０。
ＣＩａｃＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ６０×ＣP６１—P５９P６１。
Ｉａｃ这里第一次应用了排斥的分离规则。
断定的蕴涵式６０有一个排斥的后件，P５９；所以它的前件，P６１，必定也被排斥。
用同样的方法我得到排斥的表达式P６４，P６７，P７１，P７４，和P７。
Ⅴ。
ｐＩａｃ×６２＇６２。
ＣＮＩａｃＩａｃＩａｃ６２。
ＲＥ×６３
…… 150
８３１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
６３。
ＣＥａｃＩａｃＩａｃ６３×ＣP６４—P６１P６４ＣＥａｃＩａｃ１。
ａｃ×６５＇６５。
ＡｃⅧ。
ｐＡｃ，ｑＥａｃ，ｒＩａｃ×Ｃ６５—６６＇ ＇ ＇６。
ＣＫＡｃＥａｃＩａｃＣＥａｃＩａｃ６×ＣP６７—P６４P６７。
ＣＫＡｃＥａｃＩａｃ
P６７×P６８。
ｂｃ＇ P６８。
ＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ这里应用了排斥的代入规则。
表达式P６８必须被排斥，因为在P６８中用ｃ替代ｂ，我们就得到排斥的表达式P６７。
这个同样的规则也用以得出P７５。
Ⅱ。
ｑＡａｂ，ｒＩａｂ×Ｃ８—６９＇６９。
ＣｐＡａｂＣｐＩａｂ６９。
ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７０＇ ＇７０。
ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＣＫＡｂｃＥａｂＩａｃ７０×ＣP７１—P６８P７１。
ＣＫＡｂｃＥａｂＡａｃＸＩＶ。
ｐＡｃｂ，ｑＩａｃ，ｒＡａｂ×７２＇７２。
ＣＫＡｃｂＮＩａｃＮＡａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７２。
ＲＥ，ＲＯ×７３７３。
ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ７３×ＣP７４—P５９
…… 151
２８。我们的公理和规则不充分A ９３１
P７４。
ＣＫＡｃｂＥａｃＯａｂ
P７４×P７５。
ｂｃ
ｃｂ＇ P７５。
ＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ３８。
ｐＫＡｂｃＥａｂ，ｂｃ×７６＇７６。
ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃＣＫＡｂｃＥａｂＯａｃ７６×ＣP７７—P７５P７。
ＣＫＡｂｃＥａｂＥａｃ排斥的表达式P６８，P７１，P７５与P７７是带有前提Ａｂｃ与Ｅａｂ的第一格的四个可能的形式。
在第一格中，从这些前提不能得出任何正确的结论。
用同样的方法，在两条公理地排斥的形式的基础上，我们能够证明所有四个格中的一切其它不正确的三段论形式也必定被排斥。
２８。我们的公理和规则不充分A用我们的公理和断定规则来证明亚里士多德逻辑的所有已知断定命题，以及用我们的公理和排斥规则来反驳所有不正确的三段论形式，虽然都是可能的，结果仍然远远不能令人满意。
理由在于：在亚里士多德逻辑中，除了三段论的形式外，还有其它许多有意义的表达式。
实际上它们是无穷的，以致于我们不能确信这个三段论系统的所有真表达式是否都能从我们的公理和规则的系统中推导出来，而所有的假表达式是否都能被排斥。
事实上，要找出一个用我们的公理和排斥规则不能排斥的假表达式，是容易的。
例如，那样的表达式有：（Ｆ１）ＣＩａｂＣＮＡａｂＡｂａ它的意思是：“如果有些ａ是ｂ，那么如果并非所有ａ是ｂ，则
…… 152
０４１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
所有ｂ是ａ“。
这个表达式在亚里士多德逻辑中不是真的，而且不能用断定的公理来证明，但它与这些公理是不矛盾的，把它加在公理之中，并不推出任何不正确的三段论形式。
我们来考虑一下如此扩展的这个三段论的系统是值得的。
从亚里士多德的逻辑定律：８。
ＣＡａｂＩａｂ与５０。
ＣＡｂａＩａｂ以及演绎理论定律：（ｍ）ＣＣｐｒＣｑｒＣＮｐｑｒ我们能够得出下面的新断定命题７８：（ｍ）ｐＡａｂ
ｑＡｂａ，ｒＩａｂ×Ｃ８—Ｃ５０—７８＇７８。
ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ。
这个断定命题是（Ｆ１）的换位蕴涵式，它与（Ｆ１）一起给出一个等值式。
在这个等值式的基础上，我们可以用函子Ａ定义函子Ｉ：（Ｆ２）
Ｉａｂ＝ＣＮＡａｂＡｂａ。
这个定义读作：“‘有些ａ是ｂ’的意思同于‘如果并非所有ａ是ｂ，则所有ｂ是ａ。
‘“因为表达式”如果非ｐ，则ｑ“与另一表达式”或者ｐ或者ｑ“是等值的，我们也能够说：”’有些ａ是ｂ‘，的意思同于’或者所有ａ是ｂ或者所有ｂ是ａ。
‘“
现在，容易在所谓“欧拉圈”
（Ｅｕｌｅｒｉａｎ
Ｃｉｒｃｌｅｓ）中找到这个扩展系统的一个解释。
如同在通常解释中一样，用圆圈代表词项ａ，ｂ，ｃ，但是在任何两个圆圈都不会彼此相交的条件下，公理１—４得到确证，而形式P５９ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ与５９ａＣＫCＥｃｂＥａｂＩａｃ遭到排斥，因为可能划出两个圆圈彼此位于对方
…… 153
２８。我们的公理和规则不充分A １４１
之外而又都包含于第三个圆圈之中，这就驳倒了形式ＣＫＡｃｂ－ＡａｂＩａｃ，并且又可能划出三个圆圈，它们每一个都独立于其它两个圆圈，这就驳倒了形式ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ。
于是亚里士多德逻辑的所有定律都得到确证，而所有不正确的三段论形式都被排斥。
然而，这个系统不同于亚里士多德三段论系统，因为公式（Ｆ１）是假的，如我们从以下例子中能够看出：“有些偶数可被３整除”是真的，但是不论是“所有偶数都可以被３整除”还是“凡被３整除的数都是偶数”都不是真的。
从这个考虑可以得出结论，我们的公理和规则的系统不是范畴的（Ｃａｔｅｇｏｒｉｃａｌ）
①，即并非我们系统的任何解释都确证并否证（Ｖｅｒｉｆｙ
ａｎｄ
ｆａｌｓｉｆｙ）
同一个公式或者都是同构的（ｉｓｏｍｏｒｐｈｉｃ）。
刚才说明的这一解释确证了（Ｆ１）
，而（Ｆ１）是没有被亚里士多德逻辑确证的。
所以，对于作出亚里士多德逻辑的全面和精确的描述来说，我们的公理和规则系统是不充分的。
为了排除这个困难，我们可以把表达式（Ｆ１）
作为公理来排斥。
但是这个药方是否有效，也还是个疑问；还可以有其它的与（Ｆ１）同一类的公式，甚至无数的这种公式。
问题是要为亚里士多德三段论系统找到一个公理和规则的系统，使得对于该三段论系统来说，我们能够判定所给出的其中任何有意
①一公理系统是范畴的，如果它具有一个模型，而且它的一切模型是彼此同构的。
一个公理系统的两个模型称之为同构的，如果在这两个模型中所使用的个体的两个域之间有着一一对应的关系。
参看阿隆若丘尔其：《数理逻辑导论》W（Ａｌｏｎｚｏ
Ｃｈｕｒ－ｃｈ：“Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ
ｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ
Ｌｏｇｉｃ“）
，１９５６版，卷１，第３２９—３３０页。
——译者注
…… 154
２４１第四章 用符号形式表达的亚里士多德系统
义的表达式是否应被断定或被排斥。
这个最重要的判定问题将于下一章讨论。
…… 155
第五章 判定问题
２９。不能判定的表达式的数目A我把以下的三段论系统的基本元素作为我现在的研究的基础：（１）四条断定的公理１—４。
（２）断定表达式的代入规则（ａ）和分离规则（ｂ）。
（３）两条排斥的公理P５９和P５９ａ。
（４）排斥表达式的分离规则（ｃ）和代入规则（ｄ）。
必须把演绎理论作为一个辅助理论加在这个公理和规则的系统中。
从断定的公理和规则能导出全部已知亚里士多德逻辑的断定命题，亦即逻辑方阵诸定律，换位诸定律，以及所有正确的三段论的式；在排斥的公理和规则的基础上，所有不正确的三段论的形式能被排斥。
但是正如我们已经看到的，这个公理和规则的系统并不足以充分描述亚里士多德三段论系统，因为有着有意义的表达式，如ＣＩａｂＣＮＡａｂＡｂａ，它既不能被我们的断定的公理和规则所证明，也不能被我们的排斥的公理和规则所推翻。
我把这样的表达式叫做在我们的基础上是不能判定的。
不能判定的表达式在亚里士多德逻辑中可以是真的也可以是假的。
当然，表达式ＣＩａｂＣＮＡａｂ
Ａｂａ是假的。
…… 156
４１第五章 判定问题
为了在这个基础上解决判定问题，有两个问题必须解决。
第一个问题是：不能判定的表达式的数目是有穷的呢还是不是有穷的？
如果它是有穷的，判定问题是容易解决的：我们可以承认真表达式为新的断定公理，而作为公理排斥假的表达式。
然而，当不可断定的表达式的数目不是有穷的时候，这个方法是不能应用的。
我们不能断定或排斥无穷多的公理。
第二个问题在这个情况下提出：是否可能补足我们的公理和规则系统以便使得我们能够判定一个给定的表达式是不是应当被断定或排斥？
这两个问题均已由斯卢派斯基解决了：第一个问题的解决是否定的，办法是表明在我们的基础上的不可判定的表达式的数目不是有穷的；第二个问题的解决是肯定的，办法是加上一条新的排斥规则①。
我从第一个问题开始。
每一个传统逻辑的学生都熟悉用欧拉圈来解释三段论：根据这个解释，词项变项ａ，ｂ，ｃ，都用圆圈表示，前提Ａａｂ当且仅当圆圈ａ或等同于圆圈ｂ或包含于圆圈ｂ的时候才是真的，前提Ｉａｂ当且仅当圆圈ａ与ｂ有着共同的部分时，才是真的。
从而，前提Ｅａｂ，作为Ｉａｂ的否定，当且仅当圆圈ａ与ｂ没有任何共同部分，亦即它们彼此排斥时，才是真的。
所以，如果ａ与ｂ是等同的，Ｉａｂ是真的而Ｅａｂ是假的。
现在，我将研究有关这个圆圈的数目的种种假定。
这个圆
①见第９５页注①所引斯卢派斯基的论文。
我曾试图简化作者的论证，以便使得它们为未曾受过数学思维训练的读者们所理解。
当然，对于斯卢派斯基的观念的以后的解释是要由我独自负责的。
…… 157
２９。不能判定的表达式的数目A ５４１
圈的数目设定为我们的“论域”
，亦即我们解释的领域。
很明显，我们的基础的规则贯穿全部的解释仍然是正确的。
如果我们的论域包含着三个圆圈或者更多一些，四条断定的公理当然都被确证，而这个作为公理的排斥的表达式
P５９。
ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ被排斥，因为能够画出两个彼此排斥的圆圈ｃ和ａ都包含于第三个圆圈ｂ之中。
前提Ａｃｂ与Ａａｂ因而都真，而结论Ｉａｃ是假的。
表达式
P５９ａＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ也被排斥了。
因为我们能够画三个圆圈每一个都与其它两个排斥，因而前提Ｅｃｂ与Ｅａｂ都是真的而结论Ｉａｃ是假的。
所以，这个解释满足我们的基础的条件，而且所有我们的其它解释亦复如此。
现在让我们假定我们的论域只包括三个圆圈而没有更多的，并且让我们考虑以下的表达式：（Ｆ３）ＣＥａｂＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ。
这个表达式包含四个不同的变项，但它们每一个只能取三个值，因为我们只能画三个不同的圆圈。
无论用什么方式以这三个值来替代变项，两个变项总必定要接受同一个值，也即是必须等同。
但如果某一对变项，ａ与ｂ，或ａ与ｃ或ａ与ｄ，或ｂ与ｃ，或ｂ与ｄ，含有等同的元素，则相应的那个Ｅ前提就成为假的，而整个的蕴涵式，即表达式（Ｆ３）
，就被确证了；并且如果最后一对变项，ｃ与ｄ，有等同的元素，则结论Ｉｃｄ就成为真的，而整个蕴涵式也被确证了。
在只能画三个圆圈的条件下，表达式（Ｆ３）
是真的并且不能用我们的排斥的公理和规
…… 158
６４１第五章 判定问题
则加以反驳。
然而，如果我们假定我们的论域含有多于三个的圆圈，那么，我们可以画四个圆圈，它们每一个排斥其它三个，于是（Ｆ３）成为假的。
所以（Ｆ３）不能被我们的判定的公理和规则证明，由于用我们的公理和规则系统，（Ｆ３）既不能被证明，也不能被反驳，所以它是一个不可判定的表达式。
现在让我们考虑一个表达式，它有着这个形式（Ｆ４）Ｃα１Ｃα２Ｃα３，Ｃαｎβ包含ｎ个不同的变项：
ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ
并且让我们假定：（１）
（Ｆ４）的每一个前件，都是Ｅａｉａｊ型的，ａｉ不同于ａｊ；（２）后件β是Ｉａｋａｌ型的，ａｋ不同于ａｌ；（３）所有可能的不同变项的偶都出现在（Ｆ４）中。
如果我们的论域只含有（ｎ—１）个圆圈，（Ｆ４）就被确证了，因为某两个变项必须是等同的，并且或者前件之一成为假的，或者后件是真的。
但如果我们的论域包含多于（ｎ—１）
个圆圈，（Ｆ４）
就不能确证，因为可以画出几个圆圈，每一个都排斥其余的，使得所有前件成为真的，而后件是假的，所以（Ｆ４）是一个不能判定的表达式。
这样的不可判定的表达式在数目上是无穷的，因为ｎ可以是任何正整数。
很明显，在亚里士多德逻辑中它们都是假的，并且应被排斥，因为我们不能把亚里士多德逻辑限制在一个有穷数的词项中，而（Ｆ４）
形式的表达式当词项数目是无穷时就被反驳了。
这个无穷数目的不可判定的表达式除非作为公理来排斥，否则是无法排斥的，这是从以下考虑得出的：（Ｆ３）不能被我们的公理和规则系统所反驳，所以必须作为公
…… 159
３０。斯卢派斯基的排斥规则A ７４１
理加以排斥。
其次，一个包含着五个不同词项的不可判定的表达式（Ｆ４）
，我们的公理和规则系统以及与已被排斥的表达式（Ｆ３）
一起也不能予以反驳，也必须作为公理加以排斥。
对每一个（Ｆ４）
形式的其它的不可判定的表达式都可以重复这样的论证。
因为不能作为公理排斥无穷数目的表达式，我们必须寻求另外的手段，如果我们想肯定地解决判定问题的话。
３０。斯卢派斯基的排斥规则A我从两个术语的说明开始：Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ，Ｏａｂ类型的表达式，我称为简单的表达式；头两个是简单肯定表达式，而三、四两个是简单否定表达式。
简单表达式以及这种类型的表达式：
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC（其中所有α都是简单表达式）
，我�