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①亚历山大２７４。
１９，“他本人是其发明人的，被称之为‘综合定理’的东西，向我们清楚地表明他现在所谈的东西。
它的进程可以简略地这样叙述：‘如果从某些前提得出某个命题，而这个命题与另一个命题一起引出新的结论，那么第一组与第四个命题一起也引出那同一个结论。
‘“
下面的例子是在同一个地方举出的（２６）
“‘所有公正的是善的’是由‘所有公正的是美好的，所有美好的是善的’所引出的，通过‘所有善的是有益的’引出结论‘所有公正的是有益的’；这恰恰与下述情况是一样的：命题‘所有公正是美好的，所有美好的是善的’（它引出命题‘所有公正是善的’）通过‘所有善的是有益的’也得出同样的结论‘所有公正的是有益的’。”
…… 109
１９。显示法证明A ７９
式：（１８）如果Ｓ属于所有Ｃ并且Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于无一Ｃ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
这个公式可按另一条命题逻辑的定律变形如下：（１９）
如果Ｓ属于所有Ｃ并且Ｐ属于无一Ｃ，那么如果Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
对这公式可应用第二条存在量词的规则。
因为Ｃ是在（１９）
的前件中出现的一个自由变项，但不在后件中出现。
根据这条规则，我们可得断定命题：（２０）如果有一个Ｃ使得Ｓ属于所有Ｃ并且Ｐ属于无一Ｃ，那么如果Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
从前提（１５）和断定命题（２０）
，由假言三段论得出后件：（２１）如果Ｐ不属于有些Ｓ那么如果Ｒ属于所有Ｓ，则Ｐ不属于有些Ｒ。
而这就是Ｂｏｃａｒｄｏ式的蕴涵形式。
当然，亚里士多德看到这个推演的所有步骤是极不可能的；但知道这一点是重要的，即他对于显示法证明的直观是对的。
亚历山大对这个Ｂｏｃａｒｄｏ式的证明的注释是值得引证的。
他说：“证明这个式，不必假定某个由知觉提供的、单一的Ｓ，而采用Ｐ不属于它的那样一个Ｓ，这是可能的。
因为Ｐ不属于这个Ｓ，而Ｒ属于所有这个Ｓ，而这两个前提的组合产生结论，Ｐ不属于有些Ｒ“。
①在这里，亚历山大终于承认了显示词可以是普遍的。
①亚历山大１０４。
３。
…… 110
８９第三章 亚里士多德三段论系统
显示法证明对于亚里士多德的三段论理论的系统来说没有什么重要性，所有由显示法证明的定理都能由换位法或归谬法加以证明。
但是它们本身却是极重要的，因为它们包含了一个新的逻辑因素，亚里士多德对于它的意义并不是完全明白的。
或许这就是亚里士多德为什么在他的《前分析篇》第一卷的总结性的一章中（即第七章，他在此章中总括了他的三段论的系统研究）
，除掉了这一类的证明。
①在他之后没有人懂得这些证明。
它留待现代形式逻辑用存在量词的观念来解释它们。
２０。排斥的形式A亚里士多德在其三段论形式的系统研究中不仅证明了真的而且也指出了所有其它那些假的和必须排斥的形式。
让我们借助于一个例子来看亚里士多德如何排斥假的三段论形式。
下面两个前提已经给定：Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ。
这是第一格：Ａ是第一个词项或大项，Ｂ是中项，而Ｃ是最后一个词项或小项。
亚里士多德写道：“如果第一个词项属于所有中项，而中项不属于最后一个词项，就没有两端项的三段论；因为没有什么东西必然随着如此关联的词项而来；因为第一个词项应属于最后一个词项
①参看亚历山大的注释，他始终坚持他认为显示法证明的感觉性质的看法。
１２。
３“显示法证明带有感觉的性质，而不带有三段论的性质，从下面这一点可以明显看出来：他本人在任何地方都没有像提到三段论所得到的东西那样地提到它们”。
…… 111
２０。排斥的形式A ９９
的所有分子以及不属于最后一个词项的任何分子都是可能的，所以特称结论与全称结论都不是必然的。
但如果借助于这些前提没有必然的结论，就不能有三段论。
属于所有分子的词项如：动物，人，马；不属于任何分子的词项如：动物，人，石头。“
①
与显示法证明的简短和隐晦相比，上面这一段是相当充分和清楚的。
然而，我恐怕它并没有被注释家们恰当地了解。
按照亚历山大的意见，亚里士多德在这一段中表明从前提的同样组合，对于某些具体词项可以引出（ｃａｎｂｅｄｅｒｉｖｅｄ，σFαDμ∈σαDγσθαι）全称肯定结论，而对于另一些具体词F J F M项，可以引出全称否定结论。
亚历山大断定，这就是那样的前提的组合不具有三段论力量的最明显的标志，因为彼此推翻的反对和矛盾的命题都由它加以证明（σιD αι）。
②亚历山M G F E大所说的，的确使人迷误，因为从前提的非三段论式的（ａｓｙｌCｌｏｇｉｓｔｉｃ）组合不能形式地推导出任何东西，而且也不能证明任何东西。
此外，具有不同具体主项和谓项的命题既不彼此反对也不互相矛盾。
迈尔又把亚里士多德指出的词项置于三段论的形式中：所有人都是动物 所有人都是动物没有马是人 没有石头是人
①《前分析篇》ｉ。
４，２６ａ２。
②亚历山大５。
２，“通过具有具体词项的前提的同样的一个组合既能够得到全称肯定的结论，也能得到全称否定的结论，提供了这个组合不具有三段论力量的最有说服力的证明，因为借助于它，彼此互相推翻的反对和矛盾的命题都得到证明。”
…… 112
０１第三章 亚里士多德三段论系统
所有马都是动物没有石头是动物（他把前提放在横线之上，犹如在三段论里一样）
，并且说：从逻辑上等价的前提得出了（ｒｅｓｕｌｔｓ，ｅｒｇｉｂｔ
ｓｉｃｈ）一个全称肯定命题和一个全称否定命题。
①我们在下面将会看到亚里士多德所给出的词项并非意图置于三段论的形式中，并且没有什么东西从迈尔所引述的冒充的三段论中形式地得出。
考虑到这些错误的了解，对这个问题的逻辑分析似乎是必要的。
如果我们想证明下面的三段论形式：（１）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ不属于有些Ｃ不是一个三段论，并且从而不是一个真的逻辑定理，我们必须指出变项Ａ，Ｂ，Ｃ有那样的值，它们可以确证前提，而不能确证结论。
因为一个包含变项的蕴涵式，只有当变项的一切值确证前件也确证后件，它才是真的。
表明这一点的最容易的办法是找出具体词项确证前提“Ａ属于所有Ｂ”
和“Ｂ属于无一Ｃ”
，但不确证结论“Ａ不属于有些Ｃ”。
亚里士多德找到了那样的词项：以“动物”代Ａ，“人”代Ｂ，“马”代Ｃ。
前提“动物属于所有人”或“所有人都是动物”
，以及“人属于无一马”或“没有马是人”
，都可以确证；但结论“动物不属于
①《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第７６页：“因而，这关系到以下的组合：所有人是动物 所有人是动物没有马是人 没有石头是人所有马是动物没有石头是动物由例子表明：通过我们看到的、由逻辑上完全等价的前提所建立的前提组合，既可以得出一个全称肯定命题也可以得出一个全称否定命题。”
…… 113
２０。排斥的形式A １０１
有些马“或”有些马不是动物“是假的。
因此公式（１）不是一个三段论。
同理，下面的形式：（２）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ属于无一Ｃ，也不是一个三段论，因为前提被与前面的相同词项所确证，但结论“动物属于无一马”或“没有马是动物”是假的。
由（１）和（２）的假可知不能从已给定的前提中得到否定的结论。
从它们也不能得出肯定结论。
例如其次一个三段论形式：（３）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ属于有些Ｃ。
对于Ａ、Ｂ和Ｃ，有值（亦即具体词项）确证前提而不确证结论。
亚里士多德也举出了那样的词项：以“动物”代Ａ，“人”代Ｂ，“石头”代Ｃ。
于是前提被确证了，因为“所有人都是动物”和“没有石头是人”都是真的，但结论“有些石头是动物”明显是假的。
因此，公式（３）不是一个三段论。
最后一个形式：（４）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ｂ属于无一Ｃ，则Ａ属于所有Ｃ，也不能是一个三段论，因为对于上面所举的词项来说，与前面一样，前提被确证了，而结论“所有石头都是动物”
没有被确证。
由以上所述得出：从前提“Ａ属于所有Ｂ”与“Ｂ属于无一Ｃ”的组合中，无论什么结论（当Ａ为结论的谓项、Ｂ为结论的主项时）
都不能推出。
这个前提的组合对三段论是无用的。
这个排斥的过程的主要之点是找出一个真的全称肯定命题（像“所有马都是动物”）和一个真的全称否定命题（像
…… 114
２０１第三章 亚里士多德三段论系统
“没有石头是动物”）
，两者皆与前提相容。
这种说法，例如说，只找出对某些词项来说是真的全称肯定陈述，而对另一些词项来说是真的特称否定陈述，是不够的。
这个意见是由亚历山大的老师黑尔米鲁斯以及某些老的逍遥派学者们提出，并被亚历山大正确地驳斥了的。
①这又一次地证明了亚里士多德关于排斥的思想没有被恰当地了解。
三段论形式（１）—（４）被亚里士多德排斥是基于有某些具体词项确证前提而不确证结论。
然而，亚里士多德也还知道另一种对于排斥的证明。
在研究第二格的三段论形式时，亚里士多德一般地说：在这个格中无论是两个肯定前提还是两个否定前提都不能产生必然的结论，接着他这样继续说：“令Ｍ属于无一Ｎ，并且不属于有些Ｘ。
则对Ｎ来说，属于所有Ｘ或属于无一Ｘ都是可能的，属于无一的词项：黑色，雪，动物。
属于所有的词项不能找到，如果Ｍ属于有些Ｘ并且不属于有些Ｘ的话。
因为，如果Ｎ属于所有Ｘ而Ｍ属于无一Ｎ，则Ｍ将属于无一Ｘ；但已假定它属于有些Ｘ。
在这种情况下，就不可能举出词项，而证明必须从特称前提的不确定的性质着手。
因为，由于Ｍ不属于有些Ｘ是真的（甚至，当它属于无一Ｘ时，这也是真的）
，而且因为如果它属于无一Ｘ，一个三段论就是不可能的，很清楚，二者中的任一个都是不可能的。“
②
①亚历山大８９。
３４—９０。
２７，黑尔米鲁斯的话被引述于８９。
３４：“黑尔米鲁斯说：‘从一个同样的前提组合能够得出矛盾的结论；那样的结论是完全能够合理地得出的，而不是用最坏的和非三段论方式得出的。
它们是能够彼此不相容的。
‘“
②《前分析篇》，ｉ。
５，２７ｂ１２－２３
…… 115
２０。排斥的形式A ３０１
这里，亚里士多德以举出具体词项的办法开始排斥的证明，如第一个例子。
但接着他破坏了他的证明，因为他不能找出具体词项能确证前提“Ｍ属于无一Ｎ”与“Ｍ不属于有些Ｘ”
，而不确证命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
，倘若不属于有些Ｘ的Ｍ，在同时又属于有些（其它的）
Ｘ的话。
理由在于：从前提“Ｍ属于无一Ｎ”与“Ｍ属于有些Ｘ”
，由Ｆｅｓｔｉｎｏ式得出命题“Ｎ不属于有些Ｘ”。
但当Ｍ不属于有些（其它的）
Ｘ时，Ｍ应属于有些Ｘ并非必然的；Ｍ可以属于无一Ｘ。
确证前提“Ｍ属于无一Ｎ”与“Ｍ属于无一Ｘ”而不确证命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
的具体词项能够容易地挑选出来，并且事实上亚里士多德在排斥带两个全称否定前提的第二格三段论形式时，找到了它们；所需要的词项是：Ｍ——“线”
，Ｎ——“动物”
，Ｘ——“人”。
①相同的词项可以用于反驳这个三段论形式：（５）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ不属于有些Ｘ，则Ｎ不属于有些Ｘ。
因为前提“没有动物是线”是真的，而第二个前提“有些人不是线”也是真的，因为“没有人是线”是真的，但结论“有些人不是动物”是假的。
无论如何，亚里士多德并没有用这个方式完成他的证明，②因为他看到了另一种可能性：如果
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ２０，“当Ｍ既不表述任何Ｎ也不表述任何Ｘ时，一个三段论是不可能的。
表示属于的词项是线，动物，人；表示不属于的词项是线，动物，石头。
②亚历山大完成了这个证明，８。
１２，“表示Ｎ属于所有Ｘ的词项为Ｍ——线，Ｎ——动物，Ｘ——人。
线不属于任何动物，并且不属于有些人，因为它并不属于任何人，所以动物属于所有的人。“
…… 116
４０１第三章 亚里士多德三段论系统
具有全称否定前提的形式：（６）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于无一Ｘ，则Ｎ不属于有些Ｘ。
被排斥了，（５）也必定被排斥，因为如果（５）成立，有着一个比（５）强的前提的（６）
，也必定成立。
现代形式逻辑，就我所知，没有使用“排斥”作为与弗莱格的“断定”相对立的一种运算。
“排斥”的规则还没有听说过。
在上述亚里士多德证明的基础上，我们可以陈述下面的规则：（ｃ）如果蕴涵式“如果α，则β”被断定了，但后件β被排斥，那么前件α必定也被排斥。
这条规则不仅当（６）被排斥时可应用以排斥（５）
，而且当（１）被排斥时，也可以应用以排斥（２）。
因为从一个Ｅ前提，得出一个Ｏ前提，而如果（２）是真的，则（１）必真。
但如果（１）被排斥，则（２）必定被排斥。
排斥的规则（ｃ）
相当于断定的分离规则。
我们可以认为排斥的另外一条规则相当于断定的代入规则。
它可以这样构成：（ｄ）
如果以α代β，而且α被排斥了，则β必定也被排斥。
例如：假定“Ａ不属于有些Ａ”被排斥了；则“Ａ不属于有些Ｂ”必定也被排斥，因为，如果第二个表达式被断定，我们就可以用替代从它得到第一个表达式。
而第一个表达式是被排斥的。
这些规则中的第一条是亚里士多德早已知道的，第二条则是他所不知道的。
如果已有某些形式被排斥，这两条规则均可使我们排斥另外一些形式。
亚里士多德排斥某些形式是借
…… 117
２１。一些未解决的问题A ５０１
助于具体词项，如“人”
，“动物”
，“石头”。
这个处理是对的，但它往逻辑中引入了与它并无密切关系的词项和命题。
“人”
和“动物”都不是逻辑词项，而命题“所有人都是动物”并非逻辑断定命题。
逻辑不能依赖于具体词项和命题。
如果我们要避免这个困难，我们必须从公理上排斥某些形式。
我发现如果我们从公理上排斥以下两个第二格的形式：（７）
如果Ａ属于所有Ｂ并且Ａ属于所有Ｃ，则Ｂ属于有些Ｃ和，（８）
如果Ａ属于无一Ｂ并且Ａ属于无一Ｃ，则Ｂ属于有些Ｃ。
那么，所有其它形式可以借助于规则（ｃ）
和（ｄ）
而加以排斥。
２１。一些未解决的问题A亚里士多德的非模态三段论系统是一个四常项的理论，这四个常项可以由“所有——是”
，“没有——是”
，“有些——是”与“有些——不是”来表示：这些常项是二元的函子。
这两个元由变项表示，并且仅仅以具体的普遍词项为值。
排除了用单一的、空的以及否定词项等作为它的值，各常项与其元在一起形成四类叫做前提的命题，即“所有Ａ是Ｂ”
，“没有Ａ是Ｂ”
，“有些Ａ是Ｂ”和“有些Ａ不是Ｂ”。
这系统可以称为“形式逻辑”
，因为具体词项，如“人”或“动物”
，并不属于它而仅系它的应用。
这系统不是思维形式的理论，它也不依赖于心理学；正如斯多亚派所正确地观察到的，它与“大于”关系的数学理论是相似的。
这四类前提借助于两个函子“如果——则”
与“并且”
形
…… 118
６０１第三章 亚里士多德三段论系统
成这系统的断定命题。
这些函子属于命题逻辑，命题逻辑是这系统的辅助理论。
在某些证明中，我们会遇见第三个