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想要得出汤姆问题的正确答案，你应该遵从最先出现在自己脑海中的想法，若认为某招生人数多的专业（人文与教育、社会科学与社会工作）被选中的概率高，则稍微降低其概率；若认为某招生人数少的专业（图书馆学、计算机科学）被选中的概率低，则稍微提高其概率。如果你对汤姆一无所知，你作出的抉择就不是你的初衷了，你手头上的那点信息也不能相信了。所以，你应该让基础比率在预测时起主导作用。
用贝叶斯定理来约束直觉
你认为明天会下雨的概率只不过是你的臆测，你不应该相信头脑里出现的所有想法。你的信念必须受限于概率逻辑。所以，如果你相信明天某个时候会下雨的概率是40％，就该相信不会下雨的概率是60％，那么明天早晨下雨的概率就一定不会是50％。如果你相信某个候选人当选总统的概率是30％，并且相信他在首次竞选成功后再次当选的概率是80％，你就必须相信他连任的概率是24％。
贝式统计学（Bayesian statistics）提供了类似汤姆等相关问题的“定理”。这个研究统计学的定理影响深远，是以18世纪英国一位名为瑞福伦德。托马斯。贝叶斯神甫的名字命名的，因为人们认为他是为一个重大问题作出重要贡献的第一人，这个问题就是：如何推断人们是怎样根据证据改变自己的想法的。贝叶斯定理详细说明了最强烈的信念（在本章的实例中指的是基础比率）应该与证据分析相结合，这样才能更接近假设而不是偏离到其他方向上。例如，如果你相信有3％的研究生是被计算机科学专业录取的（基础比率），你还相信汤姆是该领域研究生的可能性是其他领域的4倍，贝叶斯定理就会认为，你必须相信汤姆是计算机科学家的概率是11％。此外，如果基础比率是80％，那你眼中的新概率就应该是94。1％，以此类推。
数学问题与本书并无关联。关于贝叶斯定理，有两点我们要铭记在心，要知道我们总是喜欢把事情搞得一团糟。第一，基础比率十分重要，即便是在手头的案例已有证据的情况下依然如此；第二，通过分析证据得到的直观印象通常都会被夸大。
眼见即为事实与联想一致性的结合易使我们相信自己编纂的故事。以下是对贝叶斯定理关键点的总结：以相对合理的基础比率对结果的可能性作出判断。质疑你对证据的分析。
这两个理念都是直接明了的。当我意识到自己从未学习过怎样运用它们时，我感到非常震惊，即使是现在，我仍旧觉得自己在践行这两个理念时总有些不自然。
示例：典型性与基础比率
“草坪修整得很好，接待员看起来很能干，家具也十分抢眼，但这并不意味着这是一家经营状况良好的公司。我希望董事会不要依照典型性启示作出判断。”
“这家新成立的企业看起来好像不会倒闭，但是这个行业的成功基础比率非常之低。我们又怎么能知道这家企业就是个特例（一定能成功）呢？”
“他们一直在重复犯同样的错误：用并不充分的证据来预测罕见的事件。当证据不充分时，我们应该以基础比率作为判断依据。”
“我知道这份报告绝对是具有毁灭性意义的，也许它的证据十分确凿，但我们凭什么相信呢？我们必须在做计划时保持一定的怀疑态度才行。”
第15章 琳达问题的社会效应
我们的实验中最著名也最受争议的地方是设计了一位虚拟的女士，名叫琳达·阿莫斯和我拟造了琳达问题，用以说明启发式在判断中的作用以及它与逻辑相悖的地方。以下是我们对琳达的描述：
琳达，31岁，单身，一位直率又聪明的女士，主修哲学。在学生时代，她就对歧视问题和社会公正问题较为关心，还参加了反核示威游行。
20世纪80年代听到这个描述的人常常会笑出声来，因为他们马上就知道琳达曾在加州大学伯克利分校上过学，因为这个学校以有一批热衷政治的激进学生而著称。
在一项实验中，我们给受试者看了一张单子，上面列有琳达可能会出现的8种情况。
在汤姆问题中，有些人通过典型性对汤姆的专业进行排序，而其他人则通过概率做出排序。琳达问题也是如此，但有些新的变化。
琳达是小学老师。
琳达在书店工作，她还在学瑜伽。
琳达积极参与女权运动。
琳达是妇女选民联盟成员。
琳达是银行出纳。
琳达是保险推销员。
琳达是银行出纳，还积极参与女权运动。
这个问题从几个方面透露出年代的信息。“妇女选民联盟”如今的地位已经不再像从前那样突出了，“女权运动”虽说见证了过去30年里女性地位的变化，但这种说法今天听来也已经很陌生了。然而即使在当今这个“脸谱”时代，我们仍然很容易猜到人们会对这位女士作出高度一致的判断：琳达非常适合当一个激进的女权主义者，也相当符合在书店工作且学习瑜伽的身份特征，不过却不怎么适合做银行出纳或是保险推销员。
琳达不可能只是一名普通的银行出纳吧？
现在请注意这张单子上有一点很重要：琳达更像一名（普通的）银行出纳，还是更像一名积极参与女权运动的银行出纳？所有人都认为琳达更像是“主张女权主义的银行出纳”，而不是普通的银行出纳。普通的银行出纳不会热衷女权主义，加上这个细节，整个描述便更像是一个有条理的故事了。
但是在判断概率的过程中会让人有些纠结，因为上述两种情况之间存在一种逻辑关联。按照维恩图解来说，积极＇‘文＇参与女权主义＇‘人＇的银行出纳的＇‘书＇集合包含在＇‘屋＇银行出纳的集合之中，因为每个持女权主义理念的银行出纳本身还是银行出纳。因此，琳达是位积极参与女权主义的银行出纳的概率，就一定比她只是个（普通的）银行出纳的概率低。当你想更加详尽地说明某个可能的事件时，只能降低其概率。因此这个问题使典型性直觉和概率逻辑两者对立起来。
我们的首次实验是一次受试者组间实验（between，subjects）。每位受试者都看到一组列有7个结果的单子，其中只包括几个重要结果中的一个（“银行出纳”或“积极参与女权主义的银行出纳”）。有些人通过相似度来排序，而其他人则通过概率排序。就像汤姆问题出现的结果那样，通过相似度和概率得出的平均排序结果是相同的。在两种情况下，“积极参与女权主义的银行出纳”都比“银行出纳”的排序要靠前。
然后我们运用受试者组内设计（within，subject）对此项实验作了更深入的研究。我们设计了你此前看到的那份调查问卷，其中“银行出纳”排在第六位，“女权主义银行出纳”位于最末。我们相信受试者会注意到两个结果之间的关系，而且他们的排列也应该会符合逻辑。事实上，我们对此非常有把握，不必再专门做个实验来证实这个想法。我的助手当时正在实验室里做另一项实验，她让受试者一边在报酬表上签名（临走前要领报酬），一边完成这项关于琳达的问卷。
后来我随意一瞥，看到助手书桌上的文件盒里已经放了10份调查问卷了，而且所有的受试者都认为（琳达是）“积极参与女权主义的银行出纳”比“银行出纳”的可能性更大。当时我太惊讶了，因为自己有了一个重大发现，因此我至今对那张灰色金属质地的书桌以及当时每张表的位置仍记忆犹新。当时我兴奋极了，赶紧给阿莫斯打电话，告诉他我们有了重大发现：我们让逻辑与典型性互相竞争，结果典型性赢了！
我们还观察到系统2的一个缺点：既然两种结果都包含在同一列表中，受试者就有很大机会发现逻辑规则中的关联性，但他们却没有把握好这次机会。当我们把实验的规模扩大时，发现样本中89％的研究生都违背了概率的逻辑。我们相信，从统计学角度作出复杂应答的受试者表现会更好些，因此我们给斯坦福大学商学院决策科学项目的博士生发了同样的调查问卷，所有的博士生都学过概率论、统计学和决策论等学科的高级课程。我们又一次惊奇地发现：85％的博士生也认为（琳达是）“积极参与女权主义的银行出纳”比“银行出纳”的可能性更大。
为了消除这个错误，后来我们认为“这个希望越来越渺茫”，我们让很多人了解琳达，并且问了他们下面这个简单的问题：
下面两种情况哪种可能性更大？
琳达是银行出纳。
琳达是银行出纳，同时她还积极参与女权运动。
这个直截了当的问题使琳达这个人物在某些领域中小有名气，也引起了数年的争议。几所重点大学中85％~90％的大学生选择了第二个选项，这一选择有悖逻辑，但却没有人因此感到羞耻。我曾经有些愤怒地问自己教的那些大学本科生：“难道你们没有注意到自己违背了基本的逻辑原则吗？”当时后排有些学生大喊：“那又怎样？”还有个犯了同样错误的毕业生解释道：“我还以为你只不过是问问我的看法罢了。”
通常，当人们没能运用明显相关的逻辑原则时，就会出现“谬误”。阿莫斯和我引入了“合取谬误”（conjunction fallaly）这个想法，通过直接比较，人们总会认为两个事件（在此即为银行出纳和女权主义者）的联合出现比只出现其中一件事（银行出纳）的可能性要大，此时就出现了合取谬误。
正如缪勒·里亚的错觉图所示，即使你对谬误有了真切的了解，也仍然难以避免这种错误。生物学家斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）曾描述他自己在琳达问题上的纠结反应。他当然知道这个问题的正确答案，然而他还是写道：“我脑中有个小人，跳上跳下的，还对着我喊：”她不可能只是个银行出纳，看看那描述就知道了。“这个喋喋不休的小人当然就是古尔德的系统1了。”（在他写这些文字时还没有引入两个系统的说法。）
琳达问题简短版本的正确答案只是对我们众多研究中的一项的多数回应：斯坦福大学和伯克利大学的社会科学专业大学生组中有64％的学生正确地判断出（琳达是）“女权主义的银行出纳”比“银行出纳”的可能性更小。起初列有8个结果的版本中，相似的大学生组中只有15％的人作出了正确选择，其区别颇具启发性。问题的较长版本通过在不同结果中穿插其他结果（保险推销员）来区别开两个重要结果，读者要分别判断每个结果，因此不会对所有结果进行比较。相反，（琳达）问题的较短版需要有能启动系统2的明确对比，允许多数有统计学知识的学生避免谬误。不过遗憾的是，我们没有对这组知识渊博的受试者中选择错误的少数人（36％）的推论进行探究。
我们的受试者在汤姆问题和琳达问题中提供的概率判断与典型性判断（与原型判断类似）正相吻合。典型性属于一连串可能同时发生且联系紧密的基本评估，最具典型性的结果与特性描述结合在一起就会生成最有条理的信息。而这些最具条理的信息却不一定就是可能性最大的，但它们“貌似正确”，稍有疏忽，我们就很容易混淆有条理、貌似正确和概率这三者的概念。
如果我们将具体描述用做预测的工具，那么不加批判地用貌似合理的判断来替代概率就会严重影响我们的判断结果。请思考下列一组问题中的两个描述，并对其可能性作出评估。
明年北美某地将有一次洪灾，1000多人将被淹死。
明年加利福尼亚某时将有一次地震，此次地震将导致洪水，1000多人将被淹死。
加利福尼亚地震的情节要比北美洪灾的情节更合乎情理，尽管加利福尼亚地震的概率非常小。不出所料，人们对更详细、更丰富的描述作出的概率判断更高，这一点有违逻辑。预言家总会给其客户设下陷阱：对情节加以详述会使其更可信，却更不可能成为现实。
为了体会“貌似合理”的作用，请看下面的问题：
下面两个论述哪个可能性更大？
马克长有头发。
马克长有金色的头发。
以及下面两个论述哪个可能性更大？
简是位老师。
简是位老师，她走路去上班。
这两个问题与琳达问题一样，有相同的逻辑结构，但它们却没有引起谬误，因为更详细的结果只是更详细而已，不会更让人信服，或更有连贯性，或更讲得通。对貌似合理和连贯性的评估不会产生概率问题的答案。在与之相矛盾的直觉缺位时，逻辑就会起作用。
少即是多的逻辑悖论
芝加哥大学的奚恺元（Christopher Hsee）让人们在当地一家商店清仓大甩卖时为几套餐具标价，当地餐具的价位一般在30~60美元。他将受试者分成三个小组，其中一个组看了下面的标价，奚恺元将这组标价标注为“综合评估”，因为受试者可以对两套餐具进行对比。另外两组只看了其中一组的标价，此谓“单一评估”。综合评估是组内实验，而单个评估则是组间评估。
假设A、B两套餐具质量相当，那么哪套更值钱呢？这个问题很简单。你可以看到A套包括B套所有的餐具，另外还多出7件完好无损的餐具，所以A套“必然”更值钱。的确，综合评估组的受试者宁愿多花点钱买A套餐具也不愿买B套，A套标价为32美元，B家标价为30美元。
在单一评估组中则出现了完全相反的结果，其中B套标价（33美元）比A套（23美元）高很多，我们都知道为何会出现这一结果。用具组合（包括餐具）通过标准和原型展示出来，因为没有人想买破损的餐具，于是你立即感觉到A套组合的平均价值比B套组合的平均价值低。如果以平均价值引导估测，人们认为B套更值钱也就不足为奇了。奚恺元将这样的结果模式称为“少即是多”。从A套中拿走16件餐具（有7件是完好无损的），它的价值就会提升了。
实验经济学家约翰·李斯特（John List）对奚恺元的发现进行了复制，他在真正的市场上拍卖两套相同的高价值棒球卡片，每套各为10张，但其中一套附赠3张普通价值的卡片。就像餐具的例子一样，在综合评估中，数量多的组合会比少的更有价值，但在单一评估中则正好相反。从经济理论的角度来看，一套餐具或一套棒球卡片的经济价值是一种总体变量，给任何一套加上一个有价值的物件只能提升它的价值。如果是这样，这个结果就有些令人烦恼了。
琳达问题和餐具问题的结构完全相同。概率就像是经济价值，是一种总体变量，我可以通过以下这个例子加以说明：
概率（琳达是个出纳）等于概率（琳达是个女权主义出纳）加概率（琳达是个非女权主义出纳）
这就是为什么琳达问题的单一评估产生了一种“少即是多”的模式，这一点与奚恺元的餐具实验一样。系统1会取价值的平均值而不是累加值，因此，当我们将非女权主义的银行出纳从银行出纳的大集合中移除后，主观（判定）的概率就会加大。然而，变量的总体性对概率判断的影响要小于其对金钱的影响。因此，综合评估只是消除了奚恺元的实验中出现的错误，却无法消除琳达实验中出现的错误。
琳达不是唯一一个在综合评估中得以存在的合取谬误，我们在其他许多判断中也发现了有悖逻辑的类似情况，其中一项研究的受试者被要求从高到低排列下一届温布尔登网球赛的4个可能结果，比约·伯格（Bj·rn Borg）是研究进行当日的主要网球比赛运动员。以下即为结果：
A。伯格会赢得比赛。
B。伯格会输掉首局。
C。伯格会输掉首局，但会赢得比赛。
D。伯格会赢得首局，但会输掉比赛。
上述结果中B和C两项比较重要。B囊括的内容更多，其概率“一定”比自身所包含的一个事件发生的概率大。受试者给出的答案与逻辑相悖，却顺应了典型性和貌似合理性，72％的人认为B选项比C选项的可能性更小，又一个通过直接比较得出“少即是多”的例子。这一次受试者选出的可能性最大的描述无疑貌似更合理，更符合当今世界一流网球运动员身上所具有的所有公认的特质。
合取谬误是因为对概率的误解，为阻止可能会出现的异议，我们设计了一个需要作出概率判断的问题，但在这个问题中，事件不是用文字来描述的，而且“概率”这个词一次也没有出现过。我们告诉受试者有一个标准的六面骰子，其中四面是绿色的，两面是红色的，此骰子可被投掷20次。我们给他们看了三组预设的结果，都是绿色（G）和红色（R）的任意排列，并让他们选一组。如果他们选择的那组正好出现，他们会（假想）得到25美元。这三组是：
1。RGRRR
2。GRGRRR
3。GRRRRR
因为这个骰子绿色面的数量是红色的2倍，第一组就很不具代表性，就像琳达是个银行出纳这一选项一样。第二组包括6次投掷结果，与预期投骰子结果更为符合，因为它有两个G。但是这个结果在设计时只是在第一种序列的开头加了个G，所以它比第一组更不可能，只是相当于“琳达是个积极参与女权主义的银行出纳”的非言语表达。与琳达的研究一样，典型性主导着上例的结果。几乎三分之二的受试者更愿意在第二组上下注，而不愿赌第一组。然而，当人们看到支持两种选择的理由时，大多数人发现正确的理由（偏向第一组的）更可信。
下一个问题是个突破，因为我们终于找到了可以降低合取谬误的条件。两组受试者看到同一个问题，但其变量稍显不同：
不列颠的哥伦比亚省针对成年男子样本作了一个健康调查，这些男子年龄不同，职业也不同。请对以下价值给出最佳评估：
在被调查的男子中，有几成人有过一次甚至多次心脏病发作的经历？
在被调查的男子中，有几成人既超过了55岁又有过一次甚至多次心脏病发作的经历？
不列颠的哥伦比亚省对一个由100名成年男性构成的样本进行了调查，这些男性年龄不同，职业也不同。请对以下价值给出最佳评估：
100名受试者中有多少位有过一次甚至多次心脏病发作的经历？
100名受试者中有多少超过55岁又有过一次甚至多次心脏病发作的经历？
看左栏问题的小组的错误率为65％，而